Условие
Кредит 4200 тыс. рублей берут в июле на два года. Каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года, с февраля по июнь вносится один платёж, к июлю второго года долг погашен. По первой схеме два платежа одинаковые. По второй схеме в июле первого года долг равен половине кредита. Первый платёж по второй схеме на 100 тыс. рублей больше платежа по первой схеме. Найдите r.
Подсказка
Выразите равный платёж первой схемы через q = 1 + r/100.
Первый платёж второй схемы — проценты на весь кредит плюс половина кредита.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Первая схема: равный платёж
Пусть p = r/100, q = 1 + p. Долг после двух лет: (4200q − X)q − X = 0, откуда X = 4200q²/(q + 1).
- Вторая схема: первый платёж
Долг уменьшается с 4200 до 2100, поэтому первый платёж = 4200p + 2100 = 4200(q − 1/2).
- Составляем уравнение
4200(q − 1/2) − 4200q²/(q + 1) = 100. Приводим к общему знаменателю: (q − 1/2)(q + 1) − q² = q/2 − 1/2 = p/2, поэтому разность равна 4200·p/(2(q + 1)) = 2100p/(2 + p).
- Решаем
2100p/(2 + p) = 100, 2100p = 200 + 100p, 2000p = 200, p = 0,1, r = 10.
- Проверяем и отмечаем ошибку
Первая схема: X = 4200·1,21/2,1 = 2420; 4200·1,1 − 2420 = 2200, 2200·1,1 = 2420 — погашено. Вторая: первый платёж 420 + 2100 = 2520; 2520 − 2420 = 100 — верно. Типичная ошибка — во второй схеме забыть проценты в первом платеже и взять его равным 2100: тогда разность 2100 − 2420 отрицательна и уравнение решений не имеет.
Ответ: 10
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 10: найден равный платёж 4200q²/(q + 1), первый платёж второй схемы 4200p + 2100, уравнение их разности сведено к 2100p/(2 + p) = 100 и решено.
- 1
- Верно составлено уравнение 4200p + 2100 − 4200q²/(q + 1) = 100, но допущена вычислительная ошибка при его решении или решение не доведено до r.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.