Условие
Кредит 20675 тыс. рублей выдан на пять лет. Перед первым и вторым платежами долг увеличивается на 20%, а перед третьим, четвёртым и пятым — на 25%. Платежи по годам относятся как 1:1:2:2:3, и после пятого платежа долг становится равным нулю. Найдите первый платёж в тысячах рублей.
Подсказка
Для кредита 20675 тыс. рублей обозначьте первый платёж X; ряд платежей равен X, X, 2X, 2X, 3X.
Раскройте рекурсию для начального долга 20675 с k=6/5 и m=5/4 до пятого платежа, не смешивая два режима ставок.
Показать ответ
4500
Пошаговое решение
- Разделяем долг и проценты
Проценты начисляются на остаток долга перед очередным платежом, а не каждый раз на первоначальную сумму. В платеже различаем проценты и погашение основного долга. Сумма погашений основного долга равна первоначальному кредиту.
- Намечаем ход решения
Для кредита 20675 тыс. рублей обозначьте первый платёж X; ряд платежей равен X, X, 2X, 2X, 3X. Раскройте рекурсию для начального долга 20675 с k=6/5 и m=5/4 до пятого платежа, не смешивая два режима ставок.
- Вводим обозначения
Пусть первый платёж равен X.
- Выполняем преобразование
Тогда платежи равны X, X, 2X, 2X и 3X.
- Вводим обозначения
Обозначим k=6/5 и m=5/4.
- Получаем следующий результат
Последовательно раскрывая рекурсию долга к моменту последнего платежа, получаем 0=20675·k²m³−X(km³+m³+2m²+2m+3).
- Выполняем преобразование
Здесь k²m³=45/16, а km³+m³+2m²+2m+3=827/64.
- Выполняем преобразование
Поэтому X=20675·(45/16)·(64/827)=20675·180/827=4500.
Ответ: 4500