Условие
На вклад положили 1000 тысяч рублей. В конце каждого года банк увеличивает сумму на вкладе на 10%, после чего вкладчик сразу пополняет вклад на 100 тысяч рублей. Через какое наименьшее число лет сумма на вкладе станет не меньше 4000 тысяч рублей?
Подсказка
Попробуйте прибавить к сумме на вкладе такое число, чтобы рекурсия стала умножением на 1,1.
Сравните нужную степень 1,1 с числом 2,5.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Записываем рекурсию
Пусть Bₙ — сумма после n-го года (B₀=1000). Тогда Bₙ=1,1·Bₙ₋₁ + 100.
- Делаем сдвиг
Подберём число c так, чтобы Bₙ + c=1,1(Bₙ₋₁ + c): 1,1c − c=100, c=1000. Значит, последовательность Bₙ + 1000 — геометрическая прогрессия со знаменателем 1,1 и первым членом B₀ + 1000=2000: Bₙ=2000·1,1ⁿ − 1000.
- Составляем неравенство
2000·1,1ⁿ − 1000 ≥ 4000 ⇔ 1,1ⁿ ≥ 2,5. Левая часть возрастает по n, ищем наименьшее n.
- Считаем степени 1,1
1,1²=1,21; 1,1⁴=1,4641; 1,1⁸=1,4641²≈2,1436; 1,1⁹≈2,3579<2,5; 1,1¹⁰≈2,5937 ≥ 2,5. Значит, n=10. Проверка: B₉=2000·2,3579… − 1000≈3715,9<4000, B₁₀≈4187,5 ≥ 4000.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Через 10 лет. Типичная ошибка — забыть, что пополнения тоже растут, и решать 1000·1,1ⁿ + 100n ≥ 4000 (тогда получится 12 лет), или неверно сделать сдвиг (вычесть 1000 вместо прибавления).
Ответ: 10
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 10: записана рекурсия Bₙ=1,1Bₙ₋₁ + 100 (или суммы по годам), получено Bₙ=2000·1,1ⁿ − 1000 или эквивалентное, верно найдено наименьшее n с 1,1ⁿ ≥ 2,5.
- 1
- Верно построена модель (рекурсия или формула суммы через n лет), но допущена вычислительная ошибка в степенях 1,1 или в выборе наименьшего n.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.