Условие
Вклад открыт на три года. В конце первого года сумма на вкладе увеличивается на r%, в конце второго года — на (r + 2)%, а в конце третьего — на (r + 4)%, где r — целое неотрицательное число. Найдите наименьшее r, при котором за три года сумма на вкладе увеличится не менее чем в 1,5 раза.
Подсказка
Запишите коэффициент роста за три года как произведение трёх множителей.
Как меняется произведение при увеличении r? Проверьте два соседних целых значения.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Записываем рост за три года
Сумма умножается на f(r)=(1 + r/100)(1,02 + r/100)(1,04 + r/100). Нужно f(r) ≥ 1,5.
- Используем монотонность
Каждый множитель положителен и растёт с ростом r, поэтому f(r) возрастает. Значит, достаточно найти такое r, что f(r) ≥ 1,5, а f(r − 1)<1,5.
- Оцениваем r
Средний множитель 1,02 + r/100 близок к кубическому корню из 1,5 ≈ 1,145, поэтому r около 12–13.
- Проверяем соседние значения
f(12)=1,12·1,14·1,16=1,2768·1,16=1,481088<1,5; f(13)=1,13·1,15·1,17=1,2995·1,17=1,520415 ≥ 1,5. Так как f возрастает, при r ≤ 12 рост меньше 1,5 раза, а при r=13 условие выполнено.
- Записываем ответ и типичная ошибка
r=13. Типичная ошибка — сложить проценты: r + (r + 2) + (r + 4) ≥ 50, r ≥ 14,67, ответ 15; сложные проценты дают больше, чем сумма ставок, поэтому достаточно r=13.
Ответ: 13
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 13: составлено неравенство (1 + r/100)(1,02 + r/100)(1,04 + r/100) ≥ 1,5, указано возрастание левой части, проверены значения r=12 (1,481088) и r=13 (1,520415).
- 1
- Верно построена модель (неравенство на произведение трёх множителей), но допущена вычислительная ошибка в произведениях или не обосновано, что меньшие r не подходят.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.