Условие
Банк предлагает два вклада. По вкладу «Простой» в конце каждого года сумма увеличивается на 12% от первоначально внесённой суммы. По вкладу «Сложный» в конце каждого года сумма увеличивается на 10% от суммы, которая была на вкладе в начале этого года. На оба вклада положили одинаковые суммы. Через какое наименьшее целое число лет сумма на вкладе «Сложный» станет больше, чем на вкладе «Простой»?
Подсказка
Простые проценты дают арифметическую прогрессию, сложные — геометрическую.
Сравните 1,1ⁿ и 1 + 0,12n для нескольких первых n.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Записываем суммы через n лет
Пусть вложено S. По вкладу «Простой» каждый год прибавляется 0,12S, через n лет: S(1 + 0,12n). По вкладу «Сложный» сумма каждый год умножается на 1,1: S·1,1ⁿ. Сравниваем 1,1ⁿ и 1 + 0,12n.
- Считаем по годам
n=1: 1,1<1,12; n=2: 1,21<1,24; n=3: 1,331<1,36; n=4: 1,4641<1,48; n=5: 1,61051>1,6. Впервые «Сложный» больше через 5 лет.
- Обосновываем, что дальше «Сложный» не отстанет
Начиная с пятого года прирост «Сложного» за год равен 0,1·(текущая сумма) ≥ 0,1·1,61051S>0,16S, а прирост «Простого» всегда 0,12S. Значит, разница в пользу «Сложного» дальше только растёт.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Через 5 лет. Типичная ошибка — сравнить сразу ставки 10% и 12% и решить, что «Сложный» никогда не обгонит; другая — посчитать 1,1⁴ как 1,4 (а не 1,4641) и ошибиться с годом.
Ответ: 5
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 5: записаны суммы S(1 + 0,12n) и S·1,1ⁿ, верно вычислены значения для n=1, …, 5 и объяснено, почему после пятого года вклад «Сложный» остаётся впереди.
- 1
- Верно построена модель (сравнение 1,1ⁿ и 1 + 0,12n), но допущена вычислительная ошибка в степенях 1,1 или не обосновано, что найденное n наименьшее.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.