Условие
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, стоимость которых в конце t-го года равна t² тысяч рублей (t=1, 2, …, 20). В конце любого года фонд может продать бумаги и положить вырученные деньги в банк; в конце каждого следующего года сумма на счёте увеличивается на 30%. В конце какого года нужно продать бумаги, чтобы к концу двадцатого года сумма на счёте была наибольшей?
Подсказка
Во сколько раз возрастает стоимость бумаг за год с t-го по (t + 1)-й?
Ждать выгодно, пока этот множитель больше банковского множителя.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Записываем итоговую сумму
Продав в конце t-го года, фонд получает t² и держит деньги в банке 20 − t лет: A(t)=t²·1,3²⁰⁻ᵗ.
- Сравниваем соседние годы
A(t + 1)/A(t)=(t + 1)²·1,3¹⁹⁻ᵗ/(t²·1,3²⁰⁻ᵗ)=((t + 1)/t)²/1,3. Ждать ещё год выгодно, если ((t + 1)/t)²>1,3, то есть 1 + 1/t>√1,3≈1,140.
- Решаем неравенство
1/t>0,140… ⇔ t<7,1… Значит, при t=1, …, 7 выгоднее подождать, а при t ≥ 8 — продавать. Проверка: (8/7)²=64/49≈1,306>1,3 — с 7-го на 8-й год ждать стоит; (9/8)²=81/64≈1,266<1,3 — с 8-го на 9-й уже нет.
- Определяем момент продажи
A(t) растёт до t=8 и затем убывает, поэтому наибольшая сумма — при продаже в конце 8-го года: A(8)=64·1,3¹², а A(7)=49·1,3¹³=63,7·1,3¹²<A(8) и A(9)=81·1,3¹¹<64·1,3·1,3¹¹=83,2·1,3¹¹.
- Записываем ответ и типичная ошибка
В конце 8-го года. Типичная ошибка — сравнивать абсолютный прирост 2t + 1 с 30% от t² и решать 2t + 1>0,3t² приближённо, не проверив граничные годы 7, 8, 9.
Ответ: 8
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ: в конце 8-го года; записана сумма t²·1,3²⁰⁻ᵗ, сравнены соседние годы через ((t + 1)/t)² и 1,3, показано, что (8/7)²>1,3 и (9/8)²<1,3.
- 1
- Верно построена модель (сумма t²·1,3²⁰⁻ᵗ или сравнение роста бумаг с 30%), но допущена вычислительная ошибка или год продажи определён неверно.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.