Условие
Автомобиль сейчас стоит 1000 тысяч рублей, и в конце каждого года его цена увеличивается на 4%. У покупателя есть 600 тысяч рублей; он сразу кладёт их на вклад, по которому в конце каждого года сумма увеличивается на 20%. Других денег у покупателя нет. Через какое наименьшее целое число лет суммы на вкладе хватит на покупку этого автомобиля?
Подсказка
Запишите сумму на вкладе и цену автомобиля через n лет.
Разделите одно выражение на другое: получится неравенство на степень одного числа.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Составляем модель
Через n лет на вкладе 600·1,2ⁿ тысяч рублей, а автомобиль стоит 1000·1,04ⁿ тысяч рублей. Денег хватает, если 600·1,2ⁿ ≥ 1000·1,04ⁿ.
- Переходим к отношению
Делим на 600·1,04ⁿ > 0: (1,2/1,04)ⁿ ≥ 1000/600. Так как 1,2/1,04 = 120/104 = 15/13, получаем (15/13)ⁿ ≥ 5/3, то есть 3·15ⁿ ≥ 5·13ⁿ.
- Используем монотонность
15/13 > 1, поэтому (15/13)ⁿ возрастает с ростом n: если неравенство выполнено при некотором n, то и при всех больших n. Ищем наименьшее подходящее n.
- Проверяем значения n
n = 1: 45 < 65; n = 2: 675 < 845; n = 3: 3·3375 = 10 125 < 5·2197 = 10 985; n = 4: 3·50 625 = 151 875 ≥ 5·28 561 = 142 805. В деньгах: через 3 года 1036,8 < 1124,864, через 4 года 1244,16 ≥ 1169,85856.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Через 4 года. Типичная ошибка — не учитывать рост цены и решать 600·1,2ⁿ ≥ 1000: тогда 1,2³ = 1,728 ≥ 5/3 и неверный ответ 3 года (через 3 года автомобиль стоит уже 1124,864 тыс. рублей).
Ответ: 4
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 4: составлено неравенство 600·1,2ⁿ ≥ 1000·1,04ⁿ, сведено к (15/13)ⁿ ≥ 5/3, указано возрастание левой части и проверено, что n = 3 не подходит, а n = 4 подходит.
- 1
- Верно построена модель (неравенство 600·1,2ⁿ ≥ 1000·1,04ⁿ или эквивалентное), но допущена вычислительная ошибка в степенях или не показано, что меньшее n не подходит.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.