Условие
Кредит погашается за четыре года. Перед каждым ежегодным платежом банк увеличивает остаток долга на одно и то же число процентов, а платёж выбирается так, чтобы остаток уменьшился ровно на четверть первоначальной суммы. Ни сумма кредита, ни ставка не названы, но известно: самый большой из четырёх платежей равен 2,8 млн рублей, самый маленький — 2,2 млн рублей. Сколько миллионов рублей заёмщик выплатит банку всего?
Подсказка
Какой платёж наибольший и какой наименьший при равномерном уменьшении долга?
Запишите эти два платежа через сумму кредита и ставку и вычтите одно уравнение из другого.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Вводим неизвестные и записываем платежи
Пусть кредит S млн руб., а p = r/100. Долг ежегодно уменьшается на S/4; перед начислениями он равен S, 3S/4, S/2, S/4. Платежи: S/4 + pS, S/4 + 3pS/4, S/4 + pS/2, S/4 + pS/4.
- Определяем наибольший и наименьший
Платежи убывают, так как убывает долг, на который начисляются проценты. Наибольший — первый, наименьший — последний: S/4 + pS = 2,8 и S/4 + pS/4 = 2,2.
- Решаем систему
Вычитаем: 3pS/4 = 0,6, pS = 0,8. Подставляем во второе: S/4 + 0,2 = 2,2, S = 8 млн руб.; p = 0,8/8 = 0,1, то есть r = 10.
- Находим общую сумму выплат
Общая сумма = S + p·(S + 3S/4 + S/2 + S/4) = 8 + 0,1·(8 + 6 + 4 + 2) = 8 + 2 = 10 млн руб.
- Проверяем
Платежи: 2 + 0,8 = 2,8; 2 + 0,6 = 2,6; 2 + 0,4 = 2,4; 2 + 0,2 = 2,2; сумма совпадает. Типичная ошибка — перепутать порядок и приписать 2,8 последнему платежу: тогда вычитание даёт 3pS/4 = −0,6, то есть отрицательную ставку, — так проверяется, что наибольший платёж первый.
Ответ: 10
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 10: показано, что наибольший платёж первый, а наименьший последний, решена система S/4 + pS = 2,8, S/4 + pS/4 = 2,2 (S = 8, r = 10%) и найдена общая сумма выплат.
- 1
- Верно составлена система для первого и последнего платежей через S и r, но допущена вычислительная ошибка или общая сумма выплат не найдена.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.