Условие
Банк выдаёт 10920 тыс. рублей на шесть лет под 20% годовых: проценты начисляются раз в год, после чего заёмщик вносит платёж. Первые три года он платит одинаковые суммы, подобранные так, что после третьего платежа остаётся ровно половина взятой суммы. Эту половину он гасит за следующие три года так, что после каждого платежа долг уменьшается на одну и ту же величину. Найдите общую сумму выплат в тысячах рублей.
Подсказка
Выразите долг после третьего платежа через одинаковый платёж и приравняйте его к половине кредита.
Во второй части считайте проценты на убывающие долги отдельно от возврата основного долга.
Показать ответ
18696
Пошаговое решение
- Составляем уравнение для первых трёх лет
Пусть одинаковый платёж X тыс. руб. После трёх лет долг равен 10920·1,2³ − X(1,2² + 1,2 + 1): первый платёж «проживает» ещё два начисления, второй — одно. Он должен равняться 10920/2 = 5460.
- Находим X
1,2³ = 1,728, 1,2² + 1,2 + 1 = 3,64. 10920·1,728 = 18869,76; 18869,76 − 5460 = 13409,76; X = 13409,76/3,64 = 3684 тыс. руб.
- Считаем последние три года
Долг 5460 уменьшается по 5460/3 = 1820 в год. Проценты на долги 5460, 3640, 1820: 0,2·(5460 + 3640 + 1820) = 0,2·10920 = 2184. Выплаты за последние три года: 5460 + 2184 = 7644.
- Складываем
Общая сумма выплат: 3·3684 + 7644 = 11052 + 7644 = 18696 тыс. руб.
- Проверяем первую часть и отмечаем ошибку
10920·1,2 − 3684 = 9420; 9420·1,2 − 3684 = 7620; 7620·1,2 − 3684 = 5460 — ровно половина. Типичная ошибка — считать, что и в первые три года долг уменьшается равными частями по 1820: в первой половине срока равны платежи, а не уменьшения долга.
Ответ: 18696
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 18696: из уравнения 10920·1,728 − 3,64X = 5460 найден платёж X = 3684, для второй половины срока найдены проценты 2184 и выплаты 7644, всё сложено.
- 1
- Верно построена модель обеих частей (уравнение для равных платежей до половины долга и сумма выплат при равном уменьшении), но допущена вычислительная ошибка или сумма не найдена.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.