Условие
В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на пять лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей: июль 2027 — 10 млн руб.; июль 2028 — 8 млн руб.; июль 2029 — 5 млн руб.; июль 2030 — 3 млн руб.; июль 2031 — 1 млн руб.; июль 2032 — 0 млн руб. Найдите r, если общая сумма выплат составит 14,05 млн рублей.
Подсказка
Из чего состоит платёж одного года, если известны долг в июле прошлого года и долг в июле этого года?
Сумма всех уменьшений долга — это весь кредит; отдельно сложите долги, на которые начислялись проценты.
Показать ответ
15
Пошаговое решение
- Выражаем платёж через таблицу
Пусть в июле предыдущего года долг равен D, а в июле текущего — D′. В январе долг становится D·(1 + r/100), после платежа он должен стать D′. Значит, платёж года равен D·r/100 + (D − D′): проценты на прошлогодний долг плюс уменьшение долга по таблице.
- Складываем уменьшения долга
Сумма всех разностей (10 − 8) + (8 − 5) + (5 − 3) + (3 − 1) + (1 − 0) = 10 млн руб.: за пять лет выплачивается весь основной долг.
- Складываем проценты
Проценты начисляются на долги июля 2027–2031 годов: 10 + 8 + 5 + 3 + 1 = 27 млн руб. Значит, все проценты равны 27·r/100 млн руб. Долг июля 2032 года (0) процентов не даёт.
- Составляем и решаем уравнение
Общая сумма выплат: 10 + 27r/100 = 14,05, откуда 27r/100 = 4,05 и r = 405/27 = 15.
- Проверяем по годам
Платежи: 1,5 + 2 = 3,5; 1,2 + 3 = 4,2; 0,75 + 2 = 2,75; 0,45 + 2 = 2,45; 0,15 + 1 = 1,15. Сумма 3,5 + 4,2 + 2,75 + 2,45 + 1,15 = 14,05 — верно. Типичная ошибка — начислять проценты на долги 8, 5, 3, 1 и 0 (после платежей), а не на 10, 8, 5, 3, 1: получится 17r/100 = 4,05 и нецелое r.
Ответ: 15
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ r = 15: платёж каждого года записан как r% от долга июля предыдущего года плюс уменьшение долга по таблице, составлено уравнение 10 + 27r/100 = 14,05 и решено.
- 1
- Верно построена модель (платежи выражены через табличные долги и r, составлено уравнение 10 + (r/100)·(10 + 8 + 5 + 3 + 1) = 14,05), но допущена вычислительная ошибка или r не найдено.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.