Условие
В двух областях добывают алюминий и никель. В первой области 25 рабочих, каждый трудится 8 часов в сутки, и за час один рабочий добывает 0,01 кг алюминия или 0,05 кг никеля. Во второй области 250 рабочих, каждый трудится 10 часов в сутки; если на добычу алюминия во второй области суммарно затрачено t человеко-часов, то добывается √t кг алюминия, и точно так же t человеко-часов на добычу никеля дают √t кг никеля. Весь металл поступает на завод, выпускающий сплав, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Какую наибольшую массу сплава (в килограммах) можно получить за сутки, если распределить работу в областях наилучшим образом?
Подсказка
Выразите, сколько алюминия и никеля должна дать вторая область при массе сплава M, и запишите условие на её человеко-часы.
Сравните, какой металл первая область добывает «дешевле» по сравнению со второй.
Показать ответ
72
Пошаговое решение
- Вводим переменные
В первой области 25·8 = 200 человеко-часов; пусть u из них идёт на алюминий: добыто 0,01u кг алюминия и 0,05(200 − u) = 10 − 0,05u кг никеля. Во второй области 250·10 = 2500 человеко-часов. Чтобы получить во второй области A кг алюминия и B кг никеля, нужно A² + B² человеко-часов; это возможно при A² + B² ≤ 2500.
- Записываем условие на массу сплава
Сплав массы M содержит 2M/3 кг алюминия и M/3 кг никеля. Значит, вторая область должна дать A = 2M/3 − 0,01u кг алюминия и B = M/3 − 10 + 0,05u кг никеля, и масса M достижима, если F(u) = (2M/3 − 0,01u)² + (M/3 − 10 + 0,05u)² ≤ 2500 хотя бы при одном u из [0; 200].
- Доказываем, что первая область добывает только никель
F′(u) = −0,02(2M/3 − 0,01u) + 0,1(M/3 − 10 + 0,05u) = 0,02M − 1 + 0,0052u. При M ≥ 50 и u ≥ 0 F′(u) > 0, так что F наименьшее при u = 0 (и тогда A, B > 0). Масса 50 кг достижима: при u = 0 нужно (100/3)² + (20/3)² ≈ 1156 < 2500 часов. Смысл: первая область добывает никеля в 5 раз больше, чем алюминия, поэтому ей выгодно специализироваться на никеле.
- Решаем квадратное неравенство
При u = 0: (2M/3)² + (M/3 − 10)² ≤ 2500. Умножаем на 9: 4M² + M² − 60M + 900 ≤ 22 500, 5M² − 60M − 21 600 ≤ 0, M² − 12M − 4320 ≤ 0. Дискриминант: 144 + 4·4320 = 17 424 = 132², корни (12 ± 132)/2, то есть −60 и 72. Значит, M ≤ 72.
- Проверяем план и записываем ответ
M = 72: алюминия 48 кг — всё из второй области, 48² = 2304 человеко-часа; никеля 24 кг: 10 кг из первой области и 14 кг из второй, 14² = 196 человеко-часов; 2304 + 196 = 2500. Типичная ошибка — забыть никель первой области или делить её часы между металлами: без первой области получилось бы лишь M = 30√5 ≈ 67,1 кг.
Ответ: 72
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 72: составлено условие на человеко-часы второй области, доказано, что первая область должна добывать только никель, и из неравенства M² − 12M − 4320 ≤ 0 найдена наибольшая масса сплава.
- 1
- Верно построена модель (пропорция 2 : 1, связь «t человеко-часов — √t кг», учёт металла первой области), но не обосновано, что первая область добывает только никель, или допущена одна вычислительная ошибка при решении квадратного неравенства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.