Условие
15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 10-го месяца долг составит 300 тыс. рублей; — к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите сумму кредита в тысячах рублей, если общая сумма выплат составит 1476 тыс. рублей.
Подсказка
Как выразить ежемесячное уменьшение долга через сумму кредита и остаток 300 тыс. рублей?
Общая сумма выплат = кредит + 2% от суммы долгов на 15-е число месяцев с 0-го по 10-й.
Показать ответ
1300
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть кредит S тыс. руб. За 10 месяцев долг уменьшается с S до 300 равными шагами d = (S − 300)/10.
- Записываем долги перед начислениями
1-го числа месяцев 1–10 проценты начисляются на S, S − d, …, S − 9d; в 11-м месяце — на 300. Сумма первых десяти: 10·(S + S − 9d)/2 = 10S − 45d = 10S − 4,5(S − 300) = 5,5S + 1350. Вместе с 300 получаем 5,5S + 1650.
- Составляем уравнение
Все платежи вместе возвращают кредит S и проценты 2% от суммы долгов: S + 0,02·(5,5S + 1650) = 1476, то есть 1,11S + 33 = 1476.
- Решаем
1,11S = 1443, S = 1443/1,11 = 1300 тыс. руб. Тогда d = (1300 − 300)/10 = 100.
- Проверяем и отмечаем ошибку
Сумма долгов: 1300 + 1200 + … + 400 = 8500, плюс 300 — 8800; проценты 0,02·8800 = 176; 1300 + 176 = 1476 — верно. Типичная ошибка — забыть проценты на остаток 300 в 11-м месяце (тогда S + 0,02·(5,5S + 1350) = 1,11S + 27 = 1476, S = 1449/1,11 — нецелое).
Ответ: 1300
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 1300: шаг уменьшения выражен как (S − 300)/10, сумма долгов перед начислениями найдена как 5,5S + 1650 (с учётом остатка 300), решено S + 0,02(5,5S + 1650) = 1476.
- 1
- Верно построена модель (сумма выплат записана как S плюс 2% от суммы долгов, включая остаток 300), но допущена вычислительная ошибка или уравнение не решено.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.