Условие
Кредит выдают на пять лет под 10% годовых. В конце первых двух лет выплачивают только начисленные за год проценты, не уменьшая основной долг. В конце каждого из оставшихся трёх лет вносят одинаковый платёж; последний полностью закрывает кредит. Проценты начисляются перед каждым платежом. Сумма кредита кратна 100 тысячам рублей. Какую наибольшую сумму можно взять, если все выплаты вместе не должны превышать 10000 тысяч рублей? Ответ дайте в тысячах рублей.
Подсказка
Первые два платежа в сумме равны 20% первоначальной суммы; после них долг всё ещё равен S.
Для последних трёх платежей A запишите остаток: q³S−A(q²+q+1)=0, где q=1+r/100.
Показать ответ
7100
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Первые два платежа в сумме равны 20% первоначальной суммы; после них долг всё ещё равен S. Для последних трёх платежей A запишите остаток: q³S−A(q²+q+1)=0, где q=1+r/100.
- Вводим обозначения
Пусть S — кредит в тысячах рублей, q=1,1. За первые два года выплачивают 0,2S, основной долг не меняется.
- Получаем следующий результат
После трёх оставшихся платежей остаток равен q³S−A(q²+q+1)=0. Следовательно, A=(1331/3310)S.
- Выполняем преобразование
Полная выплата равна (0,2+3·1331/3310)S=(931/662)S. По условию она не больше 10000.
- Выполняем преобразование
Запишем S=100k, где k — натуральное число. Тогда k≤66200/931. Наибольшее целое k=71, поэтому S=7100 тысяч рублей.
Ответ: 7100