Условие
Кредит погашают за пять лет под 10% годовых. Проценты начисляют перед ежегодным платежом. В первый год выплачивают только проценты. Платежи во второй, третий и четвёртый годы относятся как 1:2:3. Пятым платежом кредит закрывают; его размер 539 тысяч рублей. Общая сумма всех выплат — 13539 тысяч рублей. Найдите первоначальную сумму кредита в тысячах рублей.
Подсказка
Обозначьте кредит S, а второй платёж X. Из суммы выплат: 0,1S+6X+539=13539.
После первого года основной долг не изменился. Последовательно начислите проценты и вычтите X, 2X, 3X.
Показать ответ
10000
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Обозначьте кредит S, а второй платёж X. Из суммы выплат: 0,1S+6X+539=13539. После первого года основной долг не изменился. Последовательно начислите проценты и вычтите X, 2X, 3X.
- Вводим обозначения
Пусть S — кредит, X — второй платёж, q=1,1. Первый платёж равен 0,1S и оставляет долг S. Из полной суммы выплат получаем 0,1S+6X=13000.
- Получаем следующий результат
Остатки после следующих платежей: qS−X; q²S−(q+2)X; q³S−(q²+2q+3)X. Следовательно, последний платёж равен q⁴S−(q³+2q²+3q)X=539.
- Подставляем данные
Получена линейная система: 0,1S+6X=13000 и 1,4641S−7,051X=539. Подставляя X=(13000−0,1S)/6 во второе равенство, находим S=10000, затем X=2000. Все величины выражены в тысячах рублей.
Ответ: 10000