Условие
Фирма производит x тонн продукции в месяц и продаёт её по цене 64 тыс. рублей за тонну. Затраты на производство x тонн составляют 0,5x² + 4x + 200 тыс. рублей в месяц, причём постоянные затраты 200 тыс. рублей фирма несёт, только если работает. Государство вводит налог t тыс. рублей с каждой проданной тонны. Фирма выбирает объём x так, чтобы её прибыль после уплаты налога была наибольшей, а если эта прибыль отрицательна, фирма закрывается и ничего не производит. При каком значении t налоговые поступления государства будут наибольшими?
Подсказка
Сначала найдите, сколько тонн выпустит фирма при налоге t: это вершина параболы прибыли.
Налоговые поступления равны ставке, умноженной на выпуск; не забудьте условие, при котором фирма работает.
Показать ответ
30
Пошаговое решение
- Находим выпуск фирмы при данном налоге
Прибыль после налога: П(x) = 64x − tx − 0,5x² − 4x − 200 = −0,5x² + (60 − t)x − 200. При t < 60 наибольшее значение в вершине x = 60 − t, и оно равно 0,5(60 − t)² − 200.
- Учитываем, когда фирма работает
Фирма работает, если 0,5(60 − t)² − 200 ≥ 0, то есть (60 − t)² ≥ 400, 60 − t ≥ 20, t ≤ 40. При t > 40 фирма закрывается и налог не поступает.
- Составляем функцию налоговых поступлений
При 0 ≤ t ≤ 40 государство получает T(t) = t·x = t(60 − t) = 60t − t² тыс. рублей в месяц. Это парабола с ветвями вниз, вершина t = 60/2 = 30 принадлежит отрезку [0; 40].
- Вычисляем и проверяем
T(30) = 30·30 = 900 тыс. рублей. При t = 30 фирма выпускает 30 т и получает прибыль 0,5·900 − 200 = 250 ≥ 0 — работает. Для сравнения T(25) = T(35) = 875, T(40) = 800, при t > 40 поступлений нет.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наибольшие поступления при t = 30 тыс. рублей с тонны. Типичная ошибка — считать, что чем выше налог, тем больше поступления, и не учитывать, что фирма сокращает выпуск; другая — забыть проверить, что при выбранной ставке фирма не закрывается.
Ответ: 30
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 30: найден выпуск фирмы x = 60 − t, условие работы фирмы t ≤ 40, функция поступлений t(60 − t) и её наибольшее значение на отрезке [0; 40].
- 1
- Верно построена модель (выпуск фирмы как функция налога и поступления t·x), но не исследовано условие закрытия фирмы или допущена одна вычислительная ошибка при нахождении вершины.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.