Условие
Строительство нового цеха стоит 180 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции в год на этом цехе равны 0,5x² + 3x + 5 млн рублей. Если продукцию продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы за год (в млн рублей) составит px − (0,5x² + 3x + 5). Когда цех будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль за год была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство цеха окупится не более чем за 4 года?
Подсказка
При фиксированном p прибыль — квадратичная функция от x. Где она наибольшая?
Запишите условие «за 4 года прибыль не меньше стоимости цеха» через наибольшую годовую прибыль.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Находим наибольшую прибыль при фиксированной цене
При данном p прибыль P(x) = −0,5x² + (p − 3)x − 5 — квадратичная функция с ветвями вниз. Если p > 3, наибольшее значение в вершине x = p − 3: P = −0,5(p − 3)² + (p − 3)² − 5 = 0,5(p − 3)² − 5. Если p ≤ 3, прибыль при любом x не больше −5 и цех не окупится.
- Составляем условие окупаемости
За 4 года прибыль должна покрыть 180 млн рублей: 4·(0,5(p − 3)² − 5) ≥ 180, то есть 0,5(p − 3)² − 5 ≥ 45 и (p − 3)² ≥ 100.
- Решаем неравенство
При p > 3 обе части положительны: p − 3 ≥ 10, p ≥ 13. Значит, наименьшая подходящая цена p = 13.
- Проверяем
p = 13: выпуск x = 10 тыс. единиц, прибыль 13·10 − (0,5·100 + 30 + 5) = 130 − 85 = 45 млн рублей в год, за 4 года 180 млн — ровно стоимость цеха. При p < 13 наибольшая прибыль меньше 45 и за 4 года цех не окупится.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Ответ: p = 13. Типичная ошибка — забыть постоянные затраты 5 млн и получить (p − 3)² ≥ 90, или подставлять в прибыль произвольный выпуск вместо оптимального x = p − 3.
Ответ: 13
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 13: найдена наибольшая годовая прибыль 0,5(p − 3)² − 5 при оптимальном выпуске x = p − 3, составлено и решено неравенство 4·(0,5(p − 3)² − 5) ≥ 180 с учётом p > 3.
- 1
- Верно построена модель (наибольшая прибыль в вершине параболы и неравенство окупаемости за 4 года), но допущена одна вычислительная ошибка при нахождении прибыли или решении неравенства относительно p.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.