Условие
На вклад положили S тысяч рублей, где S — целое число. В конце каждого года банк начисляет проценты так: на часть суммы, не превышающую 1200 тысяч рублей, — 10%, а на часть сверх 1200 тысяч рублей — 5%. Найдите наименьшее S, при котором через 3 года на вкладе будет не меньше 1500 тысяч рублей.
Подсказка
Запишите, во что превращается сумма за год, отдельно для B ≤ 1200 и B>1200.
Решайте задачу с конца и каждый раз проверяйте, в какой промежуток попала найденная сумма.
Показать ответ
1136
Пошаговое решение
- Записываем годовое начисление как функцию
Если сумма B ≤ 1200, через год будет 1,1B (не больше 1320). Если B>1200, то 1200·1,1 + 1,05(B − 1200)=1,05B + 60 (больше 1320). Функция возрастает, значит, нужная S — наименьшая с итогом ≥ 1500.
- Идём назад от третьего года
Итог 1500>1320, значит, перед третьим начислением сумма B₂ была больше 1200: 1,05B₂ + 60=1500, B₂=1440/1,05=1371,43… (>1200 — ветвь выбрана верно).
- Идём назад от второго года
B₂=1371,43…>1320, снова верхняя ветвь: B₁=(B₂ − 60)/1,05=1311,43…/1,05=1248,98… (>1200 — верно).
- Восстанавливаем начальную сумму
B₁=1248,98…<1320, поэтому B₁ получена по нижней ветви: S=B₁/1,1=1135,43… (≤ 1200 — верно). Значит, нужно S ≥ 1135,43…, наименьшее целое S=1136.
- Проверяем и типичная ошибка
S=1136: 1136·1,1=1249,6; 1,05·1249,6 + 60=1372,08; 1,05·1372,08 + 60=1500,684 ≥ 1500. S=1135: 1248,5 → 1370,925 → 1499,47…<1500. Типичная ошибка — и на первом шаге взять ветвь 1,05B + 60 (получится 1132,36… и ответ 1133), не проверив, что 1132<1200.
Ответ: 1136
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 1136: записана кусочная функция начисления (1,1B и 1,05B + 60), обратный ход выполнен с проверкой ветвей (1371,43…, 1248,98…, 1135,43…) и выбрано наименьшее целое S.
- 1
- Верно построена модель (кусочная функция начисления и обратный ход или прямой расчёт), но допущена вычислительная ошибка или на одном шаге выбрана неверная ветвь начисления.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.