Условие
Облигация номиналом 1000 рублей выпущена на 3 года. В конце каждого из трёх лет владелец получает выплату 80 рублей, а в конце третьего года ему, кроме того, возвращают 1000 рублей. Каждую выплату владелец сразу кладёт на вклад, на котором в конце каждого года (до поступления очередной выплаты) сумма увеличивается на 10%. Какую наибольшую целую цену в рублях можно заплатить за облигацию в начале первого года, чтобы к концу третьего года у владельца оказалось не меньше денег, чем если бы он сразу положил эту же сумму на тот же вклад?
Подсказка
Сколько лет каждая из выплат лежит на вкладе до конца третьего года?
Сравните итог по облигации с суммой P·1,1³.
Показать ответ
950
Пошаговое решение
- Наращиваем выплаты по облигации
Первая выплата 80 лежит на вкладе 2 года: 80·1,1²=96,8. Вторая — 1 год: 80·1,1=88. Третья выплата 80 и возврат 1000 поступают в самом конце: 1080. Итого 96,8 + 88 + 1080=1264,8 рубля.
- Считаем альтернативу
Если цену P сразу положить на вклад, через 3 года будет P·1,1³=1,331P.
- Составляем неравенство
Облигация не хуже вклада, если 1264,8 ≥ 1,331P ⇔ P ≤ 1264,8/1,331=1264800/1331=950,26…
- Выбираем наибольшее целое P и проверяем
Наибольшее целое — 950: 1,331·950=1264,45 ≤ 1264,8. При P=951: 1,331·951=1265,781>1264,8 — вклад выгоднее.
- Записываем ответ и типичная ошибка
950 рублей. Типичная ошибка — не наращивать купоны (80·3 + 1000=1240, P ≤ 931,6…, ответ 931) или начислить на каждый купон проценты за три года.
Ответ: 950
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 950: выплаты наращены верно (80·1,21 + 80·1,1 + 1080=1264,8), составлено неравенство 1,331P ≤ 1264,8 и выбрано наибольшее целое P с проверкой значений 950 и 951.
- 1
- Верно построена модель (наращение купонов и неравенство 1,331P ≤ итог по облигации), но допущена вычислительная ошибка или неверно выбрано целое P.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.