Условие
Компания выпускает одинаковый товар на двух заводах. Если первый завод выпускает x тыс. единиц в месяц, его затраты составляют x² млн рублей; если второй завод выпускает y тыс. единиц в месяц, его затраты составляют 2y² млн рублей. Весь товар продаётся на одном рынке, и при общем выпуске Q = x + y тыс. единиц цена одной единицы равна 120 − Q тыс. рублей. Выпуски x и y могут быть любыми неотрицательными числами. Какую наибольшую прибыль в месяц может получить компания? Ответ дайте в миллионах рублей.
Подсказка
Сначала при фиксированном общем выпуске Q найдите, как разделить его между заводами с наименьшими затратами.
Затем прибыль станет квадратичной функцией одной переменной Q.
Показать ответ
2160
Пошаговое решение
- Составляем функцию прибыли
Выручка: (120 − Q) тыс. рублей за единицу, умноженная на Q тыс. единиц, — это (120 − Q)Q млн рублей. Прибыль P = (120 − Q)Q − x² − 2y², где Q = x + y.
- Делим выпуск при фиксированном Q
При заданном Q затраты x² + 2(Q − x)² — парабола по x, вершина: 2x − 4(Q − x) = 0, x = 2Q/3, y = Q/3. Наименьшие затраты 4Q²/9 + 2Q²/9 = 2Q²/3.
- Максимизируем по общему выпуску
P(Q) = 120Q − Q² − 2Q²/3 = 120Q − 5Q²/3. Вершина: Q = 120/(2·5/3) = 36. P(36) = 4320 − 5·1296/3 = 4320 − 2160 = 2160.
- Проверяем план
x = 24, y = 12, цена 120 − 36 = 84 тыс. рублей. Выручка 84·36 = 3024, затраты 24² + 2·12² = 576 + 288 = 864, прибыль 3024 − 864 = 2160 млн рублей.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наибольшая прибыль 2160 млн рублей. Типичная ошибка — делить выпуск между заводами поровну (затраты 3Q²/4 и прибыль 120Q − 7Q²/4 с максимумом ≈ 2057) или оптимизировать заводы по отдельности, не учитывая, что цена зависит от общего выпуска.
Ответ: 2160
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 2160: составлена прибыль (120 − Q)Q − x² − 2y², найдено оптимальное распределение x = 2Q/3, y = Q/3, наибольшее значение 120Q − 5Q²/3 при Q = 36 и проверен план x = 24, y = 12.
- 1
- Верно построена модель (прибыль двух переменных с ценой 120 − Q и затратами x² и 2y²), но решение не доведено до конца или допущена одна вычислительная ошибка при распределении выпуска или в вершине по Q.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.