Условие
Предприниматель берёт в июле кредит 3310 тыс. рублей на три года. Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года, а с февраля по июнь вносится один платёж. Банк предлагает две схемы: А) три равных ежегодных платежа, после третьего долг равен нулю; Б) в июле каждого года долг на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На сколько тысяч рублей общая сумма выплат по схеме А больше, чем по схеме Б?
Подсказка
В схеме А обозначьте платёж буквой и последовательно запишите долг после каждого года.
В схеме Б общая выплата — это кредит плюс проценты на долги перед каждым начислением.
Показать ответ
21
Пошаговое решение
- Схема А: составляем уравнение
Пусть платёж X тыс. руб. После первого года долг 3310·1,1 − X, после второго (3310·1,1 − X)·1,1 − X, после третьего ((3310·1,1 − X)·1,1 − X)·1,1 − X = 0, то есть 3310·1,1³ = X(1,1² + 1,1 + 1).
- Схема А: находим платёж и сумму
1,1³ = 1,331; 1,1² + 1,1 + 1 = 3,31. X = 3310·1,331/3,31 = 1000·1,331 = 1331. Общая сумма по схеме А: 3·1331 = 3993 тыс. руб.
- Схема Б: считаем проценты
Долг уменьшается на 3310/3 в год; проценты начисляются на 3310, 3310·2/3 и 3310·1/3, сумма этих долгов 3310·(1 + 2/3 + 1/3) = 6620. Проценты: 0,1·6620 = 662. Общая сумма: 3310 + 662 = 3972 тыс. руб.
- Сравниваем
3993 − 3972 = 21 тыс. руб.: при равных платежах долг в первые годы гасится медленнее, поэтому процентов набегает больше.
- Проверяем схему А и отмечаем ошибку
3310·1,1 − 1331 = 2310; 2310·1,1 − 1331 = 1210; 1210·1,1 − 1331 = 0 — верно. Типичная ошибка — в схеме Б начислять проценты каждый год на всю сумму 3310 (получилось бы 3310 + 993 = 4303).
Ответ: 21
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 21: по схеме А из уравнения 3310·1,331 = 3,31X найден платёж 1331 и сумма 3993, по схеме Б найдена сумма 3972 (проценты на долги 3310, 2206 2/3, 1103 1/3), вычислена разность.
- 1
- Верно построены модели обеих схем (уравнение для равных платежей и сумма процентов по убывающим долгам), но допущена вычислительная ошибка или разность не найдена.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.