Условие
В цехе можно установить x станков (x — натуральное число). Из-за общей энергосети и тесноты при x станках каждый станок за смену изготавливает 120 − 5x деталей. Каждая деталь продаётся за 50 рублей, аренда одного станка обходится в 1100 рублей за смену. Какую наибольшую прибыль за смену может получить цех? Ответ дайте в рублях.
Подсказка
Выразите прибыль как квадратичную функцию числа станков.
Вершина параболы получится нецелой — сравните значения в ближайших натуральных точках.
Показать ответ
24000
Пошаговое решение
- Составляем функцию прибыли
При x станках деталей x(120 − 5x), выручка 50x(120 − 5x) = 6000x − 250x² рублей, аренда 1100x. Прибыль P(x) = 6000x − 250x² − 1100x = 4900x − 250x² (имеет смысл при 120 − 5x > 0, x ≤ 23).
- Находим вершину параболы
P(x) — квадратичная функция с ветвями вниз, вершина x₀ = 4900/(2·250) = 9,8. Это не натуральное число, а x может быть только натуральным.
- Выбираем натуральное x
Парабола симметрична относительно x₀ и убывает при удалении от вершины, поэтому лучшее натуральное — ближайшее к 9,8, то есть 10 (до 10 расстояние 0,2, до 9 — 0,8). Проверка: P(9) = 44 100 − 20 250 = 23 850; P(10) = 49 000 − 25 000 = 24 000; P(11) = 53 900 − 30 250 = 23 650.
- Проверяем по смыслу
При 10 станках каждый делает 120 − 50 = 70 деталей на 70·50 = 3500 рублей, за вычетом аренды 3500 − 1100 = 2400 рублей; 10 станков дают 24 000 рублей.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наибольшая прибыль 24 000 рублей при 10 станках. Типичная ошибка — подставить нецелое x = 9,8 (получится 24 010 рублей, недостижимые) или отбросить дробную часть и взять 9 станков.
Ответ: 24000
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 24000: составлена прибыль 4900x − 250x², найдена вершина 9,8, обоснован выбор натурального x = 10 (симметрия параболы или сравнение P(9) и P(10)) и вычислена прибыль.
- 1
- Верно построена модель (прибыль 4900x − 250x² при натуральном x), но значение взято в нецелой вершине или выбор x = 10 не обоснован, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.