Условие
Вкладчик выбирает между двумя трёхлетними вкладами. По вкладу «А» в конце каждого года сумма увеличивается на 20%. По вкладу «Б» в конце первого и второго годов сумма увеличивается на 11%, а в конце третьего года — на r%, где r — целое число. Найдите наименьшее r, при котором вклад «Б» за три года окажется выгоднее вклада «А».
Подсказка
Запишите итоговые суммы по обоим вкладам через начальную сумму S.
Неравенство строгое; после деления граница r получится дробной.
Показать ответ
41
Пошаговое решение
- Считаем рост по вкладу «А»
Пусть вложена сумма S. Через три года по вкладу «А»: S·1,2³=1,728S.
- Считаем рост по вкладу «Б»
После двух лет по 11%: S·1,11²=1,2321S, после третьего года: 1,2321·(1 + r/100)·S.
- Составляем неравенство
«Б» выгоднее, если 1,2321·(1 + r/100)>1,728 (S>0, делим на S). Отсюда 1 + r/100>1,728/1,2321, то есть r/100>(1,728 − 1,2321)/1,2321=0,4959/1,2321, r>4959/123,21=40,24…
- Выбираем наименьшее целое r и проверяем
Наименьшее целое r>40,24… — это 41. Проверка: r=41: 1,2321·1,41=1,737261>1,728 — выгоднее; r=40: 1,2321·1,4=1,72494<1,728 — ещё невыгодно.
- Записываем ответ и типичная ошибка
r=41. Типичная ошибка — сложить проценты: 11 + 11 + r>60, r>38, ответ 39; но проценты сложные, и при r=39 или 40 вклад «Б» проигрывает.
Ответ: 41
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 41: составлено неравенство 1,11²·(1 + r/100)>1,2³, найдена граница r>40,24… и выбрано наименьшее целое r с проверкой значений 40 и 41.
- 1
- Верно построена модель (неравенство 1,2321·(1 + r/100)>1,728 или эквивалентное), но допущена вычислительная ошибка при делении или неверно выбрано целое r.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.