Условие
Фирма берёт кредит 6 млн рублей под 20% годовых на целое число лет n. Проценты начисляются раз в год на текущий остаток, после чего фирма вносит платёж, причём основной долг гасится равными частями: после каждого платежа долг уменьшается на 6/n млн рублей. Ни один годовой платёж не должен превышать 2,1 млн рублей. При каком наименьшем n это возможно?
Подсказка
Какой из платежей наибольший, если долг перед начислением процентов каждый год уменьшается?
Запишите первый платёж через n и решите неравенство в натуральных числах.
Показать ответ
7
Пошаговое решение
- Записываем долги и платежи
Долг ежегодно уменьшается на 6/n млн руб. Перед k-м начислением долг равен 6(n − k + 1)/n, поэтому k-й платёж равен 0,2·6(n − k + 1)/n + 6/n: проценты на текущий долг плюс 6/n.
- Находим наибольший платёж
Долг перед начислением с каждым годом уменьшается, поэтому проценты и платежи убывают. Наибольший платёж — первый: 0,2·6 + 6/n = 1,2 + 6/n млн руб.
- Составляем неравенство
Все платежи не больше 2,1 млн руб. тогда и только тогда, когда первый не больше 2,1: 1,2 + 6/n ≤ 2,1, то есть 6/n ≤ 0,9, n ≥ 6/0,9 = 20/3 = 6 2/3.
- Выбираем наименьшее натуральное n
n — натуральное и n ≥ 6 2/3, значит, наименьшее n = 7. Проверка: при n = 7 первый платёж 1,2 + 6/7 ≈ 2,06 ≤ 2,1; при n = 6 он равен 1,2 + 1 = 2,2 > 2,1 — не подходит.
- Отмечаем типичную ошибку
Частая ошибка — взять целую часть 20/3 и ответить 6; округлять нужно вверх, потому что n ≥ 6 2/3. Вторая ошибка — проверять последний (наименьший) платёж 0,2·6/n + 6/n вместо первого.
Ответ: 7
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 7: показано, что наибольший платёж — первый (1,2 + 6/n млн руб.), решено неравенство 1,2 + 6/n ≤ 2,1 и выбрано наименьшее натуральное n ≥ 20/3.
- 1
- Верно составлено неравенство 1,2 + 6/n ≤ 2,1 для наибольшего (первого) платежа, но допущена вычислительная ошибка или неверно выбрано натуральное n (например, 6).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.