Условие
Бригада из 30 рабочих должна выполнить работы на двух объектах: на первом объекте — объёмом 1200 человеко-часов, на втором — объёмом 2000 человеко-часов. Каждого рабочего направляют на один из объектов, и в ходе работы рабочих между объектами не перераспределяют. Работы на обоих объектах начинаются одновременно, все рабочие трудятся с одинаковой производительностью. Сколько рабочих нужно направить на первый объект, чтобы все работы были закончены как можно раньше?
Подсказка
Запишите время окончания всех работ как наибольшее из двух времён.
Найдите, при каком (не обязательно целом) числе рабочих времена равны, и сравните соседние целые.
Показать ответ
11
Пошаговое решение
- Составляем модель
Пусть на первый объект направлено x рабочих, на второй 30 − x, x — целое, 1 ≤ x ≤ 29. Первый объект будет закончен через 1200/x часов, второй — через 2000/(30 − x). Все работы закончатся через T(x) = max(1200/x; 2000/(30 − x)) часов.
- Находим точку равновесия
Первое время убывает с ростом x, второе возрастает. Они равны при 1200(30 − x) = 2000x, 36 000 = 3200x, x = 11,25 — не целое число рабочих.
- Исследуем обе стороны
При x ≤ 11 (x < 11,25) дольше работает первый объект: T = 1200/x убывает, лучшее значение при x = 11: 1200/11 ≈ 109,1 ч. При x ≥ 12 дольше работает второй: T = 2000/(30 − x) возрастает, лучшее при x = 12: 2000/18 ≈ 111,1 ч.
- Сравниваем две соседние точки
1200/11 < 2000/18 ⇔ 1200·18 < 2000·11 ⇔ 21 600 < 22 000 — верно. Значит, наименьшее время 1200/11 часа достигается при x = 11, и только при нём.
- Записываем ответ и типичная ошибка
На первый объект нужно направить 11 рабочих, на второй — 19. Типичная ошибка — округлить 11,25 «на всякий случай вверх» или распределить рабочих поровну; округление нужно подтверждать сравнением времён в двух соседних целых точках.
Ответ: 11
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 11: записано время T(x) = max(1200/x; 2000/(30 − x)), найдена точка равенства x = 11,25, исследована монотонность по обе стороны и сравнены значения при x = 11 и x = 12.
- 1
- Верно построена модель (время окончания как наибольшее из двух времён, x — целое), но выбор между x = 11 и x = 12 не обоснован сравнением или допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.