Условие
Кредит 2000 тыс. рублей взят в июле 2027 года на 10 лет под 10% годовых: каждый январь банк увеличивает долг на 10%, а с февраля по июнь заёмщик делает один платёж. Платежи подобраны так, что в 2028–2032 годах долг к июлю каждый раз уменьшается на одну и ту же сумму x, а в 2033–2037 годах — на одну и ту же сумму y (возможно, другую); в июле 2037 года долг равен нулю. Всего заёмщик выплатил 3200 тыс. рублей. Найдите x (в тысячах рублей).
Подсказка
Чему равен долг в июле 2032 года и как он связан со второй величиной уменьшения?
Сложите отдельно долги первых пяти и последних пяти лет — обе последовательности арифметические.
Показать ответ
160
Пошаговое решение
- Вводим неизвестные и связываем их
Пусть в 2028–2032 годах долг уменьшается на x тыс. руб. в год, а в 2033–2037 — на y. В июле 2032 года долг равен 2000 − 5x, и за следующие пять лет он гасится равными частями: 2000 − 5x = 5y.
- Записываем долги, на которые начисляются проценты
Первые пять лет: 2000, 2000 − x, 2000 − 2x, 2000 − 3x, 2000 − 4x; сумма 10000 − 10x. Следующие пять лет: 5y, 4y, 3y, 2y, y; сумма 15y = 3·5y = 3(2000 − 5x) = 6000 − 15x.
- Составляем уравнение для общей суммы
Каждый платёж — 10% от долга плюс уменьшение долга, а все уменьшения вместе дают 2000. Значит, общая сумма выплат 2000 + 0,1·(10000 − 10x + 6000 − 15x) = 2000 + 1600 − 2,5x = 3600 − 2,5x.
- Решаем
3600 − 2,5x = 3200, 2,5x = 400, x = 160. Тогда в июле 2032 года долг 2000 − 800 = 1200 тыс. руб., y = 1200/5 = 240.
- Проверяем и отмечаем ошибку
Проценты: 0,1·(10000 − 1600) = 840 и 0,1·15·240 = 360; 2000 + 840 + 360 = 3200 — верно. Типичная ошибка — считать уменьшения одинаковыми все 10 лет (по 200): тогда сумма выплат была бы 2000 + 0,1·200·55 = 3100, а не 3200.
Ответ: 160
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 160: введены две величины уменьшения x и y, получена связь 2000 − 5x = 5y, общая сумма выплат выражена как 3600 − 2,5x и приравнена к 3200.
- 1
- Верно построена модель (связь 2000 − 5x = 5y и уравнение 2000 + 0,1·(10000 − 10x + 15y) = 3200 составлены), но допущена вычислительная ошибка или решение не доведено до значения x.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.