Условие
В начале первого года ценная бумага стоит 7000 рублей, а в конце каждого года её цена возрастает на 2000 рублей. В начале любого года бумагу можно продать и сразу положить вырученные деньги на банковский вклад, на котором в конце каждого года сумма увеличивается на 10%. В начале какого года нужно продать бумагу, чтобы к концу тридцатого года сумма на вкладе была наибольшей?
Подсказка
Сравните два варианта: продать в начале года или подождать ещё год.
Что больше: 10% от цены бумаги или ежегодная прибавка 2000 рублей?
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Записываем цену бумаги
В начале n-го года цена равна P(n)=7000 + 2000(n − 1)=5000 + 2000n рублей (n=1, 2, …, 30).
- Сравниваем продажу в начале n-го и (n + 1)-го года
Продадим в начале n-го года — к началу следующего года на вкладе 1,1·P(n). Подождём год — в начале (n + 1)-го года получим P(n) + 2000. Дальше оба варианта одинаково лежат в банке до конца 30-го года, поэтому выгоднее тот, где в начале (n + 1)-го года денег больше.
- Находим, когда продавать раньше выгоднее
1,1·P(n)>P(n) + 2000 ⇔ 0,1·P(n)>2000 ⇔ P(n)>20000 ⇔ 5000 + 2000n>20000 ⇔ n>7,5. Значит, при n ≤ 7 ждать выгоднее (прирост бумаги 2000 больше банковских 10%), а при n ≥ 8 — продавать.
- Определяем год продажи
Итоговая сумма растёт при переходе от n к n + 1 для n=1, …, 7 и убывает для n ≥ 8, поэтому максимум — при продаже в начале 8-го года. Проверка: n=7: P=19000, 1,1·19000=20900<21000=P(8) — ждать стоило; n=8: 1,1·21000=23100>23000=P(9) — дальше ждать невыгодно.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Продать нужно в начале 8-го года. Типичная ошибка — решить уравнение 0,1·P=2000 и ответить «когда цена станет 20000», хотя цена 20000 не достигается: в начале 7-го года 19000, в начале 8-го — 21000.
Ответ: 8
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ: в начале 8-го года; сравнены продажа в соседние годы (1,1·P(n) и P(n) + 2000), получено условие P(n)>20000, показано, что до 8-го года ждать выгоднее, а после — нет.
- 1
- Верно построена модель (цена 5000 + 2000n и сравнение 0,1·P(n) с 2000 или сравнение итоговых сумм), но допущена вычислительная ошибка или год выбран неверно (например, 7-й).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.