Условие
В начале года вкладчик открыл вклад на 4 года, положив 1000 тысяч рублей. В конце каждого года банк увеличивает сумму на вкладе на 10% по сравнению с её размером в начале этого года. В начале третьего и в начале четвёртого года вкладчик пополняет вклад на одну и ту же сумму x тысяч рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее x, при котором через 4 года на вкладе будет не меньше 2000 тысяч рублей.
Подсказка
Сколько начислений получает пополнение в начале третьего года, а сколько — в начале четвёртого?
Граница для x получится дробной — какое целое число её не меньше?
Показать ответ
232
Пошаговое решение
- Считаем вклад за первые два года
Пополнений ещё нет, каждый год сумма умножается на 1,1: 1000·1,1=1100, 1100·1,1=1210 тысяч рублей.
- Учитываем пополнения третьего и четвёртого годов
В начале третьего года на вкладе 1210 + x, в конце года 1,1·(1210 + x)=1331 + 1,1x. В начале четвёртого года добавляется ещё x: 1331 + 2,1x, в конце года 1,1·(1331 + 2,1x)=1464,1 + 2,31x. Первое пополнение получает два начисления (множитель 1,21), второе — одно (1,1): 1,21 + 1,1=2,31.
- Составляем и решаем неравенство
1464,1 + 2,31x ≥ 2000 ⇔ 2,31x ≥ 535,9 ⇔ x ≥ 535,9/2,31=53590/231. Делим: 231·231=53361, остаток 229, значит, 53590/231=231 и 229/231, то есть граница чуть меньше 232.
- Выбираем наименьшее целое x и проверяем
Наименьшее целое x, не меньшее 231,99…, — это 232. Проверка: x=232 даёт 1464,1 + 2,31·232=1464,1 + 535,92=2000,02 ≥ 2000; x=231 даёт 1464,1 + 533,61=1997,71<2000 — не подходит.
- Записываем ответ и типичная ошибка
x=232 тысячи рублей. Типичные ошибки: умножить оба пополнения на 1,21 (получится x ≥ 221,4…) или округлить 231,99… до 231, не проверив, что при x=231 цель не достигнута.
Ответ: 232
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 232: верно составлено неравенство 1000·1,1⁴ + x·1,1² + x·1,1 ≥ 2000 (1464,1 + 2,31x ≥ 2000), найдена граница 53590/231 и выбрано наименьшее целое x с проверкой.
- 1
- Верно построена модель (неравенство 1464,1 + 2,31x ≥ 2000 или эквивалентное), но допущена вычислительная ошибка или граница 231,99… округлена неверно (например, ответ 231).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.