Условие
В равнобедренной трапеции ABCD основания AB=7 и CD=3, высота равна 12. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. а) Докажите, что S(AOB)/S(COD)=(AB/CD)². б) Найдите площадь треугольника AOB.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 10: Рассмотрите треугольники AOB и COD: вертикальные углы при O и накрест лежащие углы при параллельных основаниях.
Шаг 2 для варианта 10: Расстояния от O до оснований относятся как AO:OC=7:3, а их сумма равна высоте 12.
Показать ответ
29,4
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Рассмотрите треугольники AOB и COD: вертикальные углы при O и накрест лежащие углы при параллельных основаниях. Расстояния от O до оснований относятся как AO:OC=7:3, а их сумма равна высоте 12.
- Пункт а
а) ∠AOB=∠COD как вертикальные, ∠ABO=∠CDO и ∠BAO=∠DCO как накрест лежащие при AB∥CD.
- Используем подобие
Поэтому треугольники AOB и COD подобны с коэффициентом AB/CD=7/3; отношение площадей равно квадрату коэффициента.
- Пункт б
б) Пусть y — расстояние от O до AB.
- Выполняем преобразование
Тогда y/(12−y)=7/3, откуда y=7·12/(7+3).
- Получаем следующий результат
Следовательно, S(AOB)=AB·y/2=7²·12/(2(7+3))=29,4.
Ответ: 29,4