ЕГЭ, задание 17: Планиметрическая задача

Проведите биссектрису угла B: появятся равнобедренный треугольник и пара подобных треугольников.

Найдя третью сторону, запишите теорему синусов, учитывая, что sin 2A = 2 sin A·cos A.

1. а) Биссектриса угла B

   Проведём биссектрису BL угла B. Тогда ∠ABL = ∠LBC = ∠A. В треугольнике ABL углы при стороне AB равны, он равнобедренный: AL = BL.

2. а) Подобие треугольников CBL и CAB

   Угол C общий и ∠CBL = ∠CAB, поэтому треугольники CBL и CAB подобны: CB/CA = CL/CB = BL/AB. Отсюда CL = BC²/AC и BL = BC·AB/AC.

3. а) Складываем отрезки

   AC = AL + LC = BL + LC = (BC·AB + BC²)/AC, откуда AC² = BC·(BC + AB). Что и требовалось доказать.

4. б) Сторона AC

   По пункту а AC² = 9·(9 + 7) = 144, AC = 12.

5. б) Теорема синусов и проверка

   AC/sin B = BC/sin A и sin B = sin 2A = 2 sin A·cos A, поэтому 12/(2 sin A·cos A) = 9/sin A, cos A = 12/18 = 2/3, ∠A = arccos(2/3). Проверка: cos B = cos 2A = 2·(4/9) − 1 = −1/9, и по теореме косинусов cos B = (81 + 49 − 144)/126 = −1/9. Типичная ошибка — перепутать стороны в теореме синусов и получить cos A = 9/24 = 3/8.

Ответ: arccos(2/3)

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а проведена биссектриса BL, доказаны AL = BL и подобие треугольников CBL и CAB, выведено соотношение сторон; в пункте б найдена AC = 12, из теоремы синусов с формулой синуса двойного угла получен cos A = 2/3, получен ответ arccos(2/3).

2

Обоснованно получен верный ответ arccos(2/3) в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (AC² = BC·(BC + AB)) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

1

Имеется верное доказательство пункта а (AC² = BC·(BC + AB)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ arccos(2/3) в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.