Условие
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O. Известно, что OA = 5, OB = 6, OC = 4, OD = 9. а) Докажите, что ∠AOB + ∠COD = 180°. б) Найдите отношение AB к CD.
Подсказка
На каких линиях лежит центр вписанной окружности? Выразите углы AOB и COD через углы четырёхугольника.
Запишите площади треугольников AOB и COD двумя способами: через радиус и через синус угла при O.
Показать ответ
5/6
Пошаговое решение
- а) Центр лежит на биссектрисах
Центр вписанной окружности равноудалён от сторон, поэтому OA, OB, OC, OD — биссектрисы углов четырёхугольника: ∠OAB = ∠A/2, ∠OBA = ∠B/2, ∠OCD = ∠C/2, ∠ODC = ∠D/2.
- а) Сумма углов при центре
Из треугольников AOB и COD: ∠AOB = 180° − (∠A + ∠B)/2, ∠COD = 180° − (∠C + ∠D)/2. Сумма углов четырёхугольника 360°, поэтому ∠AOB + ∠COD = 360° − 360°/2 = 180°.
- б) Площади треугольников AOB и COD двумя способами
Радиус r, проведённый в точку касания, — высота треугольников AOB и COD: S(AOB) = (1/2) · r · AB, S(COD) = (1/2) · r · CD. С другой стороны, S(AOB) = (1/2) · OA · OB · sin ∠AOB, S(COD) = (1/2) · OC · OD · sin ∠COD, а по пункту а sin ∠AOB = sin ∠COD.
- б) Отношение сторон
Делим равенства: AB : CD = S(AOB) : S(COD) = (OA · OB) : (OC · OD) = (5 · 6) : (4 · 9) = 30 : 36 = 5/6.
- Проверяем и записываем ответ
Такой четырёхугольник существует: сумма α + β + γ + δ углов с sin α = r/5, sin β = r/6, sin γ = r/4, sin δ = r/9 растёт от 0 до значения больше 180° при r = 4, поэтому ровно при одном r она равна 180°. Типичная ошибка — сравнивать стороны по отношению OA : OC или OB : OD; нужны произведения длин отрезков.
Ответ: 5/6
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что ∠AOB + ∠COD = 180° (OA, OB, OC, OD — биссектрисы, сумма углов четырёхугольника 360°); в пункте б площади AOB и COD записаны через r и через синусы равных углов, получено AB : CD = OA·OB : OC·OD и получен ответ 5/6.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 5/6 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что ∠AOB + ∠COD = 180° (OA, OB, OC, OD — биссектрисы, сумма углов четырёхугольника 360°), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в произведениях или при сокращении дроби).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (∠AOB + ∠COD = 180° (OA, OB, OC, OD — биссектрисы, сумма углов четырёхугольника 360°)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 5/6 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.