Условие
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности радиуса r. Окружность касается боковой стороны AB в точке K, причём AK = 9, KB = 4, а другая боковая сторона CD равна 15. а) Докажите, что r² = AK · KB. б) Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов A и B. Чему равна сумма этих углов?
Чему равна сумма оснований описанной трапеции? А её высота?
Показать ответ
168
Пошаговое решение
- а) Угол AOB прямой
Пусть O — центр окружности. Он равноудалён от сторон угла A и от сторон угла B, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC. ∠BAD + ∠ABC = 180° (односторонние при AD ∥ BC), значит, ∠OAB + ∠OBA = 90° и ∠AOB = 90°.
- а) Высота прямоугольного треугольника
Радиус OK, проведённый в точку касания, перпендикулярен AB, то есть OK — высота прямоугольного треугольника AOB, проведённая к гипотенузе. Треугольники AKO и OKB подобны (∠KAO = ∠KOB — оба дополняют ∠AOK до 90°), откуда AK : OK = OK : KB, OK² = AK · KB, то есть r² = AK · KB.
- б) Высота трапеции
r² = 9 · 4 = 36, r = 6. Окружность касается обоих оснований, а расстояние между параллельными касательными равно диаметру: высота трапеции h = 2r = 12.
- б) Сумма оснований и площадь
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны: AD + BC = AB + CD = (9 + 4) + 15 = 28. S = (AD + BC)/2 · h = 14 · 12 = 168.
- Проверяем и записываем ответ
Отрезки касательных из C и D: их произведение тоже r² = 36 (по пункту а для стороны CD), сумма 15, это 3 и 12; тогда AD = 9 + 12 = 21, BC = 4 + 3 = 7, и AD + BC = 28 — верно. Типичная ошибка — взять высоту равной радиусу 6 и получить площадь вдвое меньше.
Ответ: 168
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что r² = AK · KB (угол AOB прямой, OK — высота к гипотенузе); в пункте б найдены r = 6, высота 12 и сумма оснований 28 и получен ответ 168.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 168 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что r² = AK · KB (угол AOB прямой, OK — высота к гипотенузе), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в сумме оснований или в высоте).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (r² = AK · KB (угол AOB прямой, OK — высота к гипотенузе)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 168 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.