Условие
Прямоугольник ABCD со сторонами AB=9 и BC=12 вписан в окружность. а) Докажите, что диагональ AC является диаметром окружности. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 5: Опирающийся на AC угол ABC прямой. Используйте обратную теорему об угле, опирающемся на диаметр.
Шаг 2 для варианта 5: После нахождения AC используйте S=rs для прямоугольного треугольника ABC или формулу r=(AB+BC−AC)/2.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Опирающийся на AC угол ABC прямой. Используйте обратную теорему об угле, опирающемся на диаметр. После нахождения AC используйте S=rs для прямоугольного треугольника ABC или формулу r=(AB+BC−AC)/2.
- Пункт а
а) ∠ABC=90°.
- Получаем следующий результат
Вписанный прямой угол стягивает полуокружность, следовательно, дуга AC, не содержащая B, равна 180°, а AC проходит через центр и является диаметром.
- Пункт б
б) AC=√(9²+12²)=√225=15.
- Выполняем преобразование
Площадь ABC равна 9·12/2, полупериметр — (9+12+15)/2.
- Получаем следующий результат
Из S=rs получаем r=108/(9+12+15)=(9+12−15)/2=3.
Ответ: 3