Условие
Из точки P к окружности с центром O проведены касательные PA и PB. OP=13, OA=5. а) Докажите, что OP делит хорду AB пополам, и найдите расстояние от O до AB. б) Найдите площадь четырёхугольника OAPB.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 7: Равенство прямоугольных треугольников OAP и OBP даёт перпендикулярность OP и AB; затем используйте подобие OMA и OPA.
Шаг 2 для варианта 7: Четырёхугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами 5 и PA.
Показать ответ
а) 25/13; б) 60
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Равенство прямоугольных треугольников OAP и OBP даёт перпендикулярность OP и AB; затем используйте подобие OMA и OPA. Четырёхугольник состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами 5 и PA.
- Пункт а
а) Обозначим M=OP∩AB.
- Выполняем преобразование
Треугольники OAP и OBP равны по гипотенузе и катету, поэтому OP — серединный перпендикуляр к AB: M — середина AB.
- Используем подобие
Треугольники OMA и OPA подобны, поэтому OM/OA=OA/OP и OM=OA²/OP=25/13=25/13.
- Пункт б
б) PA=√(13²−5²)=12.
- Выполняем преобразование
Площади OAP и OBP равны OA·PA/2, поэтому S(OAPB)=OA·PA=5·12=60.
Ответ: а) 25/13; б) 60