Условие
В прямоугольнике ABCD стороны AB = 6 и AD = 10. На стороне BC выбрана точка M так, что отрезок DM является биссектрисой угла AMC. а) Докажите, что AM = AD. б) Найдите угол AMD.
Подсказка
Сравните углы DMC и MDA: прямые BC и AD параллельны.
Какой треугольник оказался равнобедренным? Найдите BM и рассмотрите прямоугольный треугольник DCM.
Показать ответ
arctg 3
Пошаговое решение
- а) Равные углы при биссектрисе и параллельных сторонах
DM — биссектриса угла AMC, поэтому ∠AMD = ∠DMC. Прямые BC и AD параллельны, DM — секущая, значит, ∠DMC = ∠MDA как накрест лежащие.
- а) Равнобедренный треугольник AMD
Из двух равенств ∠AMD = ∠MDA, то есть в треугольнике AMD углы при стороне MD равны. Треугольник AMD равнобедренный, AM = AD = 10, что и требовалось доказать.
- б) Положение точки M
В прямоугольном треугольнике ABM: BM = √(AM² − AB²) = √(10² − 6²) = 8. Тогда MC = BC − BM = 10 − 8 = 2.
- б) Угол AMD через угол DMC
∠AMD = ∠DMC. В прямоугольном треугольнике DCM (∠C = 90°) tg ∠DMC = DC : MC = 6 : 2 = 3. Угол острый, поэтому ∠AMD = ∠DMC = arctg 3.
- Проверяем и записываем ответ
Сумма углов треугольника AMD: 2 · arctg 3 + ∠MAD = 180°, ∠MAD = ∠AMB (накрест лежащие), tg ∠AMB = 6/8 = 3/4; проверка: tg(2∠AMD) = 2 · 3 : (1 − 9) = −3/4 = −tg ∠MAD — верно. Типичная ошибка — найти угол AMB (arctg(3/4)) и выдать его за угол AMD.
Ответ: arctg 3
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что AM = AD (∠AMD = ∠DMC = ∠MDA, треугольник AMD равнобедренный); в пункте б найдены BM = 8, MC = 2 и tg ∠DMC = 3 и получен ответ arctg 3.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ arctg 3 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что AM = AD (∠AMD = ∠DMC = ∠MDA, треугольник AMD равнобедренный), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в длине BM или MC).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (AM = AD (∠AMD = ∠DMC = ∠MDA, треугольник AMD равнобедренный)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ arctg 3 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.