Условие
Три окружности вписаны в угол с вершиной S (каждая касается обеих сторон угла). Первая окружность касается второй внешним образом, вторая — третьей, вторая окружность лежит между первой и третьей. Радиусы первой и третьей окружностей равны 4 и 9. а) Докажите, что радиус второй окружности равен среднему геометрическому радиусов первой и третьей. б) Найдите величину угла.
Подсказка
Выразите расстояние от вершины угла до центра каждой окружности через её радиус и синус половины угла.
Расстояние между центрами касающихся окружностей равно сумме радиусов — запишите это для соседних пар.
Показать ответ
arccos(23/25)
Пошаговое решение
- а) Расстояния от вершины до центров
Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от его сторон и лежит на биссектрисе. Пусть φ — половина угла, s = sin φ. Радиус в точку касания перпендикулярен стороне, поэтому из прямоугольного треугольника расстояние от S до центра окружности радиуса r равно r/s.
- а) Условие касания соседних окружностей
Точка касания двух окружностей лежит на линии центров, расстояние между центрами при внешнем касании равно сумме радиусов. Для первой и второй: r₂/s − r₁/s = r₁ + r₂, откуда r₂(1 − s) = r₁(1 + s), r₂/r₁ = (1 + s)/(1 − s). Для второй и третьей так же r₃/r₂ = (1 + s)/(1 − s). Значит, r₂/r₁ = r₃/r₂, r₂² = r₁·r₃ — радиус второй окружности есть среднее геометрическое.
- б) Находим синус половины угла
r₂ = √(4·9) = 6. (1 + s)/(1 − s) = 6/4 = 3/2, откуда s = (3/2 − 1)/(3/2 + 1) = 1/5.
- б) Находим угол
Угол равен 2φ, cos 2φ = 1 − 2sin²φ = 1 − 2·(1/5)² = 23/25. Угол острый, поэтому он равен arccos(23/25).
- Проверка
Для третьей окружности: (1 + s)/(1 − s) = 9/6 = 3/2 — совпадает. Типичные ошибки — взять расстояние между центрами равным разности радиусов или записать в ответ половину угла arcsin(1/5).
Ответ: arccos(23/25)
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что r₂² = r₁·r₃ (центры на биссектрисе, расстояние до вершины r/sin φ, касание — сумма радиусов); в пункте б найдены r₂ = 6, sin φ = 1/5, cos 2φ = 23/25 и угол arccos(23/25).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (r₂/r₁ = r₃/r₂ = (1 + sin φ)/(1 − sin φ)) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в нахождении sin φ = 1/5 или в формуле косинуса двойного угла).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (r₂/r₁ = r₃/r₂ = (1 + sin φ)/(1 − sin φ)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в нахождении sin φ = 1/5 или в формуле косинуса двойного угла), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.