Условие
Окружность проходит через вершины A и D прямоугольника ABCD и касается стороны BC в точке M. Сторона AB пересекает окружность ещё в точке K. а) Докажите, что M — середина BC. б) Найдите AK, если AB = 8, AD = 12.
Подсказка
Где лежит центр окружности, проходящей через A и D? Как направлен радиус в точку касания?
Из вершины B к окружности проведены касательная и секущая.
Показать ответ
7/2
Пошаговое решение
- а) Центр лежит на серединном перпендикуляре к AD
Пусть O — центр окружности. OA = OD, поэтому O лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку AD. Прямая l перпендикулярна AD, а BC ∥ AD, значит, l ⊥ BC.
- а) Точка касания
Радиус OM, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной BC. Через O проходит только одна прямая, перпендикулярная BC, поэтому OM лежит на l и M — точка пересечения l с BC. Прямая l отсекает от прямоугольника прямоугольник ABMN (N — середина AD), поэтому BM = AN = AD/2 = BC/2: M — середина BC.
- б) Касательная и секущая из точки B
BM = 12/2 = 6. Из точки B проведены касательная BM и секущая BKA, поэтому BM² = BK·BA (треугольники BMK и BAM подобны: угол B общий, ∠BMK = ∠BAM). BK = 36/8 = 9/2.
- б) Находим AK
BK = 9/2 < AB = 8, поэтому K лежит на стороне AB между A и B: AK = 8 − 9/2 = 7/2.
- Проверка
Радиус из прямоугольного треугольника с катетами AD/2 = 6, 8 − r и гипотенузой r: r = (8² + 6²)/(2·8) = 25/4; центр удалён от AD на 8 − 25/4 = 7/4, хорда AK вдвое больше: 7/2. Типичная ошибка — взять BM = BC = 12 или BM² = AK·AB.
Ответ: 7/2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что M — середина BC (центр на серединном перпендикуляре к AD, радиус OM перпендикулярен BC); в пункте б по теореме о касательной и секущей найдены BK = 9/2 и AK = 7/2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (M — середина BC) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в BK = 36/8 или в разности 8 − 9/2).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (M — середина BC), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в BK = 36/8 или в разности 8 − 9/2), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.