Условие
Касательные к окружности радиуса 15, проведённые в точках A и B, перпендикулярны и пересекаются в точке P. Точка C лежит на меньшей дуге AB, расстояния от C до прямых PA и PB равны 6 и 3 соответственно. а) Докажите, что квадрат расстояния от точки C до прямой AB равен произведению расстояний от C до прямых PA и PB. б) Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу. Найдите прямоугольные треугольники с общей вершиной C, подобные по острому углу.
Какую фигуру образуют P, A, B и центр окружности, если касательные перпендикулярны?
Показать ответ
45
Пошаговое решение
- а) Первая пара подобных треугольников
Опустим из C перпендикуляры CH на AB, CK на PA и CL на PB. Угол CAK между касательной PA и хордой AC равен вписанному углу CBA, опирающемуся на дугу AC. Прямоугольные треугольники CKA и CHB подобны по острому углу, поэтому CK/CH = CA/CB.
- а) Вторая пара и вывод
Так же угол CBL между касательной PB и хордой BC равен вписанному углу CAB, и прямоугольные треугольники CLB и CHA подобны: CL/CH = CB/CA. Перемножив, получаем CK·CL/CH² = 1, то есть CH² = CK·CL.
- б) Расстояние от C до AB
По пункту а CH² = CK·CL = 6·3 = 18, поэтому CH = √18 = 3√2. Это высота треугольника ABC, проведённая к стороне AB.
- б) Хорда AB
OA ⊥ PA, OB ⊥ PB и ∠APB = 90°, поэтому OAPB — прямоугольник с равными соседними сторонами OA = OB = 15, то есть квадрат. AB — его диагональ: AB = 15√2.
- б) Площадь и проверка
S = AB·CH/2 = 15√2·3√2/2 = 45. Проверка в координатах: P(0; 0), A(15; 0), B(0; 15), центр (15; 15), C(3; 6) — точка на окружности: (3 − 15)² + (6 − 15)² = 225 = 15². Типичная ошибка — взять CH равным среднему арифметическому (6 + 3)/2.
Ответ: 45
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что CH² = CK·CL (две пары подобных прямоугольных треугольников по углу между касательной и хордой); в пункте б найдены CH = 3√2, AB = 15√2 (OAPB — квадрат) и площадь 45.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (квадрат расстояния до AB равен произведению расстояний до касательных) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в CH = 3√2 или в произведении 15√2·3√2).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (квадрат расстояния до AB равен произведению расстояний до касательных), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в CH = 3√2 или в произведении 15√2·3√2), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.