Условие
Из точки P проведены касательные PA и PB к окружности (A и B — точки касания). Прямая, проходящая через P, пересекает окружность в точках C и D, причём C лежит между P и D. а) Докажите, что AC·BD = AD·BC. б) Найдите CD, если AC = 4, BC = 6, BD = 9.
Подсказка
Используйте угол между касательной и хордой: найдите подобные треугольники с общей вершиной P для каждой из касательных.
Когда известны все стороны вписанного четырёхугольника, диагональ находят теоремой косинусов в двух треугольниках с противоположными углами.
Показать ответ
6√2
Пошаговое решение
- а) Треугольники PAC и PDA
Угол P общий; угол PAC между касательной PA и хордой AC равен вписанному углу ADC = ∠PDA. Треугольники PAC и PDA подобны, поэтому AC/DA = PA/PD.
- а) Треугольники PBC и PDB и вывод
Точно так же треугольники PBC и PDB подобны: BC/DB = PB/PD. Отрезки касательных из одной точки равны, PA = PB, поэтому AC/AD = BC/BD, то есть AC·BD = AD·BC.
- б) Находим AD
AD = AC·BD/BC = 4·9/6 = 6. Точка C лежит между P и D, поэтому C — на меньшей дуге AB, обращённой к P, а D — на большей дуге; значит, точки лежат на окружности в порядке A, C, B, D, и углы CAD и CBD при вершинах A и B четырёхугольника ACBD противоположные. Четырёхугольник вписанный, поэтому ∠CAD + ∠CBD = 180° и cos∠CBD = −cos∠CAD.
- б) Теорема косинусов для диагонали CD
Пусть cos∠CAD = x. Из треугольника CAD: CD² = 4² + 6² − 2·4·6·x = 52 − 48x. Из треугольника CBD: CD² = 6² + 9² + 2·6·9·x = 117 + 108x. Приравниваем: x = −5/12, CD² = 72, CD = 6√2.
- Проверка
cos∠CBD = 5/12: 117 − 108·(5/12) = 72 — совпадает. Типичная ошибка — взять одинаковый знак косинуса в обоих треугольниках, забыв, что углы A и B вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.
Ответ: 6√2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что AC·BD = AD·BC (подобие PAC и PDA, PBC и PDB и равенство касательных PA = PB); в пункте б найдены AD = 6, cos∠CAD = −5/12 (противоположные углы вписанного четырёхугольника) и CD = 6√2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (AC·BD = AD·BC) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в AD = 6 или при решении уравнения для косинуса).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (AC·BD = AD·BC), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в AD = 6 или при решении уравнения для косинуса), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.