Условие
Около треугольника ABC с острым углом A описана окружность радиуса 10, BC = 16. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке W, точка I — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что WB = WI = WC. б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки B, I и C.
Подсказка
Сравните углы WBI и WIB: один из них составлен из двух половин углов треугольника, другой — внешний угол треугольника ABI.
Если точка равноудалена от трёх данных точек, то она — центр окружности через них.
Показать ответ
4√5
Пошаговое решение
- а) WB = WC
Вписанные углы BAW и WAC равны (AW — биссектриса), поэтому равны дуги BW и WC, на которые они опираются, и стягивающие их хорды: WB = WC.
- а) WB = WI
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах, поэтому I лежит на AW, а BI — биссектриса угла B. Обозначим углы треугольника A, B. ∠WBI = ∠WBC + ∠CBI = ∠WAC + B/2 = A/2 + B/2 (∠WBC = ∠WAC — вписанные, опираются на дугу WC). ∠WIB — внешний угол треугольника ABI: ∠WIB = ∠BAI + ∠ABI = A/2 + B/2. Углы равны, треугольник WBI равнобедренный, WB = WI. Итак, WB = WI = WC.
- б) Центр окружности BIC
По пункту а точка W равноудалена от B, I и C, поэтому W — центр окружности, проходящей через эти точки, и её радиус равен WB.
- б) Вычисляем WB
По теореме синусов sin A = BC/(2R) = 16/20 = 4/5; угол A острый, cos A = 3/5. Четырёхугольник ABWC вписанный, ∠BWC = 180° − A. В равнобедренном треугольнике BWC половина угла W равна 90° − A/2, поэтому WB = (BC/2)/sin(90° − A/2) = 8/cos(A/2). cos(A/2) = √((1 + 3/5)/2) = 2√5/5, WB = 8 : (2√5/5) = 4√5.
- Проверка
Хорда WB стягивает вписанный угол A/2: WB = 2R·sin(A/2) = 20·(√5/5) = 4√5. Типичные ошибки — взять cos A = −3/5 (тупой угол) или считать радиус окружности BIC равным R = 10.
Ответ: 4√5
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что WB = WI = WC (равные дуги и подсчёт углов WBI и WIB); в пункте б обосновано, что W — центр окружности BIC, найдены cos A = 3/5, cos(A/2) = 2√5/5 и радиус 4√5.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (WB = WI = WC) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в cos(A/2) = 2√5/5 или в делении 8/cos(A/2)).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (WB = WI = WC), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в cos(A/2) = 2√5/5 или в делении 8/cos(A/2)), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.