Условие
Точки A, B, C, D лежат на окружности в указанном порядке. Хорды AC и BD пересекаются в точке E, угол AEB равен 120°. а) Докажите, что угол AEB равен полусумме дуг AB и CD, не содержащих других данных точек. б) Найдите радиус окружности, если AB = 8, CD = 3.
Подсказка
Рассмотрите треугольник AED: угол AEB для него внешний.
Перенесите дугу CD по окружности так, чтобы она примыкала к дуге AB, и рассмотрите получившийся вписанный треугольник.
Показать ответ
7√3/3
Пошаговое решение
- а) Внешний угол треугольника AED
Угол AEB смежен с углом AED, поэтому он равен внешнему углу треугольника AED: ∠AEB = ∠EAD + ∠EDA = ∠CAD + ∠BDA. Вписанный угол CAD опирается на дугу CD, ∠BDA — на дугу AB, каждый равен половине своей дуги. Значит, ∠AEB = (дуга AB + дуга CD)/2.
- б) Сумма дуг и перенос дуги
Дуга AB + дуга CD = 2·120° = 240°. Отметим на окружности точку F так, чтобы B лежала на дуге AF и дуга BF (не содержащая A) была равна дуге CD. Равные дуги стягиваются равными хордами: BF = CD = 3. Дуга AF, содержащая B, равна 240°, а другая дуга AF равна 120°.
- б) Треугольник ABF
Вписанный угол ABF опирается на дугу AF в 120°, поэтому ∠ABF = 60°. По теореме косинусов AF² = 8² + 3² − 2·8·3·cos 60° = 64 + 9 − 24 = 49, AF = 7.
- б) Радиус
Окружность описана около треугольника ABF, по теореме синусов R = AF/(2 sin∠ABF) = 7/(2·√3/2) = 7/√3 = 7√3/3.
- Проверка
Хорда AF стягивает дугу 120°, центральный угол 120°, значит, AF = R√3, R = 7/√3 — совпадает. Типичная ошибка — взять в теореме косинусов cos 120° вместо cos 60° (получится AF² = 97).
Ответ: 7√3/3
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что ∠AEB = (дуга AB + дуга CD)/2 (внешний угол треугольника AED и вписанные углы); в пункте б обоснованно получены сумма дуг 240°, хорда AF = 7 (перенос дуги, теорема косинусов с углом 60°) и радиус 7√3/3.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (угол между хордами равен полусумме дуг) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в теореме косинусов (AF² = 49) или в теореме синусов).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (угол между хордами равен полусумме дуг), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в теореме косинусов (AF² = 49) или в теореме синусов), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.