Условие
Площадь ромба ABCD равна 60, а его сторона равна 10. Вписанная в ромб окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках K, L, M и N соответственно. а) Докажите, что KLMN — прямоугольник. б) Найдите отношение площади прямоугольника KLMN к площади ромба ABCD.
Подсказка
Где находится центр окружности, вписанной в ромб? Что можно сказать об отрезках KM и LN?
Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Показать ответ
9/50
Пошаговое решение
- а) Точки касания лежат на диаметрах
Центр O вписанной окружности ромба — точка пересечения его диагоналей (диагонали ромба — биссектрисы его углов). Радиусы OK и OM перпендикулярны касательным AB и CD. Так как AB ∥ CD, прямые OK и OM — один и тот же перпендикуляр к AB, точки K, O, M лежат на одной прямой, и KM — диаметр. Так же LN — диаметр (BC ∥ AD).
- а) Признак прямоугольника
Диагонали KM и LN четырёхугольника KLMN равны (это диаметры) и точкой O делятся пополам. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.
- б) Радиус и угол ромба
Высота ромба h = S : AB = 60 : 10 = 6; она равна диаметру вписанной окружности (окружность касается двух параллельных сторон), r = 3. sin ∠A = h : AD = 6/10 = 3/5.
- б) Площадь прямоугольника через диагонали
KM ⊥ AB, LN ⊥ BC, поэтому угол между прямыми KM и LN равен углу между AB и BC, его синус равен sin ∠B = sin ∠A = 3/5. S(KLMN) = (1/2) · KM · LN · sin φ = (1/2) · 6 · 6 · 3/5 = 54/5. Отношение: 54/5 : 60 = 9/50.
- Проверяем и записываем ответ
Общая формула: S(KLMN) : S(ABCD) = (2r² · sin A) : (AB² · sin A) = 2 · 3² : 10² = 9/50 — совпадает. Типичная ошибка — считать диагонали KM и LN перпендикулярными, как у квадрата, и взять S(KLMN) = (1/2) · 6 · 6 = 18.
Ответ: 9/50
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что KLMN — прямоугольник (KM и LN — диаметры, они равны и делятся точкой O пополам); в пункте б найдены r = 3, sin A = 3/5 и S(KLMN) = 54/5 и получен ответ 9/50.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 9/50 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что KLMN — прямоугольник (KM и LN — диаметры, они равны и делятся точкой O пополам), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в высоте ромба или в площади KLMN).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (KLMN — прямоугольник (KM и LN — диаметры, они равны и делятся точкой O пополам)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 9/50 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.