Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O, его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P. а) Докажите, что расстояние от точки O до прямой AB равно половине CD. б) Найдите радиус окружности, если PA = 6, PB = 4, PC = 8.
Подсказка
Выразите расстояние от O до AB и длину CD через радиус и вписанные углы ACB и CBD.
Найдите недостающий отрезок диагонали по свойству пересекающихся хорд, затем хорды AB и CD.
Показать ответ
√65
Пошаговое решение
- а) Расстояние от центра до хорды AB
Пусть OH — перпендикуляр к AB; H — середина хорды AB, OH — биссектриса угла AOB. Угол ACB — острый угол прямоугольного треугольника BPC, поэтому центральный угол AOB, опирающийся на ту же дугу AB, равен 2∠ACB и ∠AOH = ∠ACB. Из прямоугольного треугольника AOH: OH = R · cos ∠ACB.
- а) Половина хорды CD
По теореме синусов для вписанного угла CBD: CD = 2R · sin ∠CBD. В прямоугольном треугольнике BPC ∠PBC + ∠PCB = 90°, то есть ∠CBD = 90° − ∠ACB и sin ∠CBD = cos ∠ACB. Значит, CD/2 = R · cos ∠ACB = OH.
- б) Четвёртый отрезок диагоналей
По свойству пересекающихся хорд PA · PC = PB · PD, PD = 6 · 8 : 4 = 12.
- б) Хорды AB и CD и радиус
Из прямоугольных треугольников APB и CPD: AB² = 6² + 4² = 52, CD² = 8² + 12² = 208. В прямоугольном треугольнике AOH: R² = AH² + OH² = (AB/2)² + (CD/2)² (по пункту а) = 13 + 52 = 65, R = √65.
- Проверяем и записываем ответ
Центр в координатах P(0; 0), A(−6; 0), C(8; 0), B(0; 4), D(0; −12): O(1; −4), OA² = 49 + 16 = 65 — совпадает. Типичная ошибка — забыть найти PD и считать R половиной диагонали; диагонали вписанного четырёхугольника не обязаны быть диаметрами.
Ответ: √65
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что расстояние от O до AB равно CD/2 (∠AOH = ∠ACB, CD = 2R·sin ∠CBD, ∠CBD = 90° − ∠ACB); в пункте б найдены PD = 12, AB² = 52, CD² = 208 и R² = (AB/2)² + (CD/2)² и получен ответ √65.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ √65 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что расстояние от O до AB равно CD/2 (∠AOH = ∠ACB, CD = 2R·sin ∠CBD, ∠CBD = 90° − ∠ACB), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в отрезке PD или в квадрате хорды).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (расстояние от O до AB равно CD/2 (∠AOH = ∠ACB, CD = 2R·sin ∠CBD, ∠CBD = 90° − ∠ACB)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ √65 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.