Условие
Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проведённая в точке A, пересекает прямую BC в точке P. а) Докажите, что PB : PC = AB² : AC². б) Найдите PA, если AB = 6, AC = 9, BC = 10.
Подсказка
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Найдите два подобных треугольника с вершиной P.
Чтобы понять, с какой стороны от B и C лежит точка P, сравните PB и PC.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- а) Подобие треугольников PAB и PCA
Угол P у треугольников PAB и PCA общий. Угол PAB между касательной PA и хордой AB равен половине дуги AB, не содержащей C, то есть вписанному углу ACB = ∠PCA. Значит, треугольники PAB и PCA подобны по двум углам (вершина A соответствует C, B — A).
- а) Выводим отношение
Из подобия PA/PC = PB/PA = AB/CA. Перемножив два равных отношения, получим (PB/PA)·(PA/PC) = (AB/AC)², то есть PB : PC = AB² : AC².
- б) Положение точки P и отрезки PB, PC
PB : PC = 6² : 9² = 4/9 < 1, поэтому P лежит на продолжении BC за точку B и PC = PB + 10. Из PB = (4/9)·(PB + 10) получаем PB = 8, PC = 18.
- б) Находим PA
Из подобия PA² = PB·PC = 8·18 = 144, PA = 12.
- Проверка
PA/PC = 12/18 = 2/3 = AB/AC — подобие выполняется. Типичные ошибки — считать, что P лежит между B и C, или взять PB : PC = AB : AC (без квадратов).
Ответ: 12
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что PB : PC = AB² : AC² (подобие треугольников PAB и PCA по углу между касательной и хордой); в пункте б обосновано положение P на продолжении BC за точку B, найдены PB = 8, PC = 18 и PA = 12.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (подобие PAB и PCA и отношение квадратов) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, при решении уравнения для PB или в произведении PB·PC = 144).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (подобие PAB и PCA и отношение квадратов), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, при решении уравнения для PB или в произведении PB·PC = 144), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.