Условие
В треугольнике ABC угол A равен 120°, AA₁, BB₁ и CC₁ — биссектрисы. а) Докажите, что угол B₁A₁C₁ прямой. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника A₁B₁C₁, если AB = 5, AC = 3.
Подсказка
Докажите, что AC делит пополам внешний угол треугольника ABA₁, и посмотрите, чем тогда является точка B₁ для этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Показать ответ
√91/8
Пошаговое решение
- а) AC — биссектриса внешнего угла треугольника ABA₁
∠BAA₁ = ∠A₁AC = 60°. Угол между лучом AC и продолжением стороны BA за точку A равен 180° − 120° = 60°, поэтому в треугольнике ABA₁ луч AC делит пополам внешний угол при вершине A.
- а) B₁ — центр вневписанной окружности треугольника ABA₁
Точка B₁ лежит на биссектрисе угла B треугольника ABA₁ и на биссектрисе его внешнего угла при A, поэтому она равноудалена от прямых AB, AA₁ и BA₁. Значит, B₁ лежит и на биссектрисе внешнего угла при вершине A₁: A₁B₁ — биссектриса угла AA₁C. Так же (треугольник ACA₁) A₁C₁ — биссектриса угла AA₁B.
- а) Угол B₁A₁C₁
Углы AA₁B и AA₁C смежные, а биссектрисы смежных углов перпендикулярны: ∠B₁A₁C₁ = 180°/2 = 90°.
- б) Отрезки AB₁ и AC₁
BC² = 5² + 3² − 2·5·3·cos 120° = 49, BC = 7. По свойству биссектрисы AB₁ : B₁C = AB : BC = 5 : 7, AB₁ = 3·5/12 = 5/4; AC₁ : C₁B = AC : BC = 3 : 7, AC₁ = 5·3/10 = 3/2.
- б) Гипотенуза B₁C₁ и радиус
В треугольнике AB₁C₁ угол A равен 120°: B₁C₁² = 25/16 + 9/4 + (5/4)·(3/2) = 91/16, B₁C₁ = √91/4. По пункту а треугольник A₁B₁C₁ прямоугольный, центр описанной окружности — середина гипотенузы B₁C₁, R = √91/8. Типичная ошибка — знак cos 120°: с «минусом» получится B₁C₁² = 31/16.
Ответ: √91/8
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а показано, что AC — биссектриса внешнего угла треугольника ABA₁, B₁ — центр его вневписанной окружности и A₁B₁, A₁C₁ — биссектрисы смежных углов; в пункте б найдены BC = 7, AB₁ = 5/4, AC₁ = 3/2, B₁C₁ = √91/4 и использовано, что B₁C₁ — гипотенуза, получен ответ √91/8.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ √91/8 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (угол B₁A₁C₁ прямой) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (угол B₁A₁C₁ прямой), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ √91/8 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.