ЕГЭ, задание 17: Планиметрическая задача

Поверните треугольник ADN вокруг A на 90° так, чтобы D совпала с B. Какой угол получится при A?

Выразите катеты CM и CN треугольника MCN через сторону квадрата.

1. а) Поворот треугольника ADN

   Повернём треугольник ADN вокруг точки A на 90° так, чтобы сторона AD перешла в AB. Точка N перейдёт в точку N' на продолжении стороны CB за точку B (углы ABN' и ABC прямые, их сумма 180°), причём AN' = AN, BN' = DN и ∠BAN' = ∠DAN.

2. а) Равные треугольники N'AM и NAM

   ∠N'AM = ∠N'AB + ∠BAM = ∠DAN + ∠BAM = 90° − ∠MAN = 45° = ∠MAN. В треугольниках N'AM и NAM сторона AM общая, AN' = AN и углы между ними равны, поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, MN = MN' = MB + BN' = BM + DN.

3. б) Уравнение для стороны

   По пункту а MN = 4 + 6 = 10. Пусть сторона квадрата равна x. Тогда CM = x − 4, CN = x − 6, и по теореме Пифагора в треугольнике MCN: (x − 4)² + (x − 6)² = 10².

4. б) Решаем уравнение

   2x² − 20x + 52 = 100, x² − 10x − 24 = 0, x = 12 или x = −2. Сторона положительна (и больше 6), поэтому x = 12.

5. Проверяем и записываем ответ

   CM = 8, CN = 6, √(8² + 6²) = 10 — совпадает с BM + DN. Можно решить и без пункта а: ∠BAM + ∠DAN = 45°, tg ∠BAM = 4/x, tg ∠DAN = 6/x, по формуле тангенса суммы (10/x) : (1 − 24/x²) = 1, то есть то же уравнение x² − 10x − 24 = 0; пункт а лишь сокращает решение. Типичная ошибка — оставить корень x = −2.

Ответ: 12

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что MN = BM + DN (поворот на 90° и равенство треугольников N'AM и NAM); в пункте б составлено уравнение (x − 4)² + (x − 6)² = 10² и выбран положительный корень и получен ответ 12.

2

Обоснованно получен верный ответ 12 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что MN = BM + DN (поворот на 90° и равенство треугольников N'AM и NAM), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, при раскрытии скобок или в корнях квадратного уравнения).

1

Верно доказано только утверждение пункта а (MN = BM + DN (поворот на 90° и равенство треугольников N'AM и NAM)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 12 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.