Условие
Окружность касается диаметра AB полуокружности в точке C и касается дуги полуокружности в точке K. а) Докажите, что KC — биссектриса угла AKB. б) Найдите AK, если AC = 15, CB = 20.
Подсказка
Продолжите KC до пересечения с окружностью, дополняющей полуокружность. Что можно сказать об этой точке?
Угол AKB опирается на диаметр. Какое отношение дают отрезки AC и CB для биссектрисы?
Показать ответ
21
Пошаговое решение
- а) Точка касания и линия центров
Пусть O — середина AB (центр полуокружности), Q — центр меньшей окружности. Точка касания окружностей лежит на линии центров, поэтому O, Q, K лежат на одной прямой. Дополним полуокружность до окружности и продолжим KC до второго пересечения с ней в точке N.
- а) Доказываем, что N — середина нижней дуги
Треугольники QKC и OKN равнобедренные (QK = QC, OK = ON) с общим углом при вершине K, поэтому ∠QCK = ∠QKC = ∠OKN = ∠ONK. Значит, QC ∥ ON (соответственные углы при секущей KN). QC ⊥ AB как радиус в точку касания, поэтому ON ⊥ AB и N — середина дуги AB, не содержащей K.
- а) Вывод
Дуги AN и NB равны, поэтому равны опирающиеся на них вписанные углы AKN и NKB. Значит, KC — биссектриса угла AKB.
- б) Прямой угол и свойство биссектрисы
∠AKB = 90° (опирается на диаметр). По свойству биссектрисы AK : KB = AC : CB = 15 : 20. Пусть AK = 15t, KB = 20t; по теореме Пифагора (15t)² + (20t)² = 35², 25t = 35, t = 7/5. AK = 21, KB = 28.
- Проверка
Радиус малой окружности из OQ = R − r: (5/2)² + r² = (35/2 − r)², r = 60/7; точка K лежит на продолжении OQ, расчёт по координатам даёт ту же длину AK. Типичная ошибка — считать AK = AC = 15 или забыть, что угол AKB прямой.
Ответ: 21
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что KC — биссектриса угла AKB (O, Q, K на одной прямой, QC ∥ ON, N — середина дуги); в пункте б использованы прямой угол AKB и свойство биссектрисы AK : KB = 15 : 20, получено AK = 21.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (KC делит угол AKB пополам) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в теореме Пифагора (15t)² + (20t)² = 35²).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (KC делит угол AKB пополам), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в теореме Пифагора (15t)² + (20t)² = 35²), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.