Условие
Медианы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что точки A₁, B₁, C и M лежат на одной окружности. а) Докажите, что AC² + BC² = 2·AB². б) Найдите медиану CC₁, если AB = 6.
Подсказка
Запишите для точки A свойство двух секущих, проведённых к окружности.
Выразите квадраты медиан через стороны треугольника.
Показать ответ
3√3
Пошаговое решение
- а) Секущие из точки A
Прямые AC и AA₁ пересекают окружность в точках B₁, C и M, A₁ соответственно. Четырёхугольник B₁CA₁M вписанный, поэтому ∠AB₁M = 180° − ∠MB₁C = ∠MA₁C, и треугольники AB₁M и AA₁C подобны (угол A общий). Отсюда AB₁·AC = AM·AA₁.
- а) Подставляем медианы
AB₁ = AC/2 (B₁ — середина AC), AM = (2/3)·AA₁ (медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины). Получаем AC²/2 = (2/3)·AA₁².
- а) Формула медианы
AA₁² = (2AB² + 2AC² − BC²)/4 (удвоение медианы и равенство суммы квадратов диагоналей параллелограмма сумме квадратов его сторон). Тогда AC²/2 = (2AB² + 2AC² − BC²)/6, 3AC² = 2AB² + 2AC² − BC², AC² + BC² = 2·AB².
- б) Медиана CC₁
CC₁² = (2AC² + 2BC² − AB²)/4 = (2·2AB² − AB²)/4 = 3AB²/4 = 3·36/4 = 27, CC₁ = AB·√3/2 = 3√3. Длины AC и BC по отдельности не нужны: известна только сумма их квадратов 2·36 = 72.
- Проверка и типичная ошибка
Например, при AC = 7, BC = √23 условие AC² + BC² = 72 выполнено, и CC₁² = (98 + 46 − 36)/4 = 27 — тот же ответ. Типичная ошибка — взять AM = AA₁/3 (перепутать отношение 2 : 1).
Ответ: 3√3
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а из вписанности B₁CA₁M получено AB₁·AC = AM·AA₁, использованы AM = (2/3)AA₁ и формула медианы; в пункте б медиана CC₁ выражена через стороны и с учётом пункта а получено CC₁² = 27, получен ответ 3√3.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 3√3 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (AC² + BC² = 2·AB²) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (AC² + BC² = 2·AB²), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 3√3 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.