Условие
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. а) Докажите, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. б) Пусть G — эта точка. Найдите отношение AG : GA₁, если AB = 9, AC = 10, BC = 7.
Подсказка
Обозначьте равные отрезки касательных из каждой вершины и подставьте их в теорему Чевы.
Для отношения на отрезке AA₁ примените теорему Менелая к треугольнику ABA₁ и прямой CC₁.
Показать ответ
7 : 2
Пошаговое решение
- а) Отрезки касательных
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AC₁ = AB₁ = x, BC₁ = BA₁ = y, CA₁ = CB₁ = z.
- а) Теорема Чевы
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = (x/y)·(y/z)·(z/x) = 1. По теореме, обратной теореме Чевы, отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке (её называют точкой Жергонна).
- б) Длины отрезков касательных
p = (9 + 10 + 7)/2 = 13. x = p − BC = 6, y = p − AC = 3, z = p − AB = 4 (проверка: x + y = 9 = AB, y + z = 7 = BC, z + x = 10 = AC).
- б) Теорема Менелая для треугольника ABA₁
Прямая CC₁ пересекает стороны AB и AA₁ треугольника ABA₁ в точках C₁ и G и продолжение стороны BA₁ в точке C. По теореме Менелая (AC₁/C₁B)·(BC/CA₁)·(A₁G/GA) = 1: (6/3)·(7/4)·(A₁G/GA) = 1, A₁G/GA = 2/7.
- б) Ответ и типичная ошибка
AG : GA₁ = 7 : 2. Типичная ошибка — взять в теореме Менелая отрезок BA₁ вместо BC (точка C лежит на продолжении BA₁): получится 3/2 вместо 7/2; другая ошибка — считать AG : GA₁ = AC₁ : C₁B = 2.
Ответ: 7 : 2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а через равенство отрезков касательных проверено условие теоремы Чевы и сделан вывод по обратной теореме; в пункте б найдены отрезки касательных 6, 3, 4 и верно записана теорема Менелая для треугольника ABA₁ и секущей CC₁, получен ответ 7 : 2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 7 : 2 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 7 : 2 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.