Условие
Окружности с центрами O₁ и O₂ радиусов 11 и 4 лежат одна вне другой. Их общая внутренняя касательная касается окружностей в точках A и B и пересекает отрезок O₁O₂ в точке S, AB = 20. Общая внешняя касательная касается окружностей в точках C и D. а) Докажите, что O₁S : SO₂ = 11 : 4. б) Найдите CD.
Подсказка
Радиусы, проведённые в точки касания A и B, перпендикулярны AB. Найдите подобные треугольники с вершиной S.
Отрезок общей касательной между точками касания удобно находить из прямоугольной трапеции, образованной радиусами, этим отрезком и линией центров.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- а) Подобные прямоугольные треугольники
Радиусы O₁A и O₂B перпендикулярны касательной AB. Углы O₁SA и O₂SB вертикальные. Прямоугольные треугольники O₁AS и O₂BS подобны по острому углу, поэтому O₁S : SO₂ = O₁A : O₂B = 11 : 4.
- б) Делим AB точкой S
Из того же подобия AS : SB = 11 : 4, AS + SB = 20, поэтому AS = 20·11/15 = 44/3, SB = 16/3.
- б) Расстояние между центрами
O₁S = √(11² + (44/3)²) = √(3025/9) = 55/3; по пункту а SO₂ = (55/3)·(4/11) = 20/3. O₁O₂ = 55/3 + 20/3 = 25.
- б) Отрезок внешней касательной
O₁C ⊥ CD и O₂D ⊥ CD, поэтому O₁CDO₂ — прямоугольная трапеция. Проведём из O₂ перпендикуляр к O₁C: получим прямоугольный треугольник с гипотенузой O₁O₂ = 25 и катетом 11 − 4 = 7, второй катет равен CD: CD = √(625 − 49) = 24.
- Проверка
Для внутренней касательной тот же приём даёт O₁O₂² = AB² + (11 + 4)² = 400 + 225 = 625 = 25². Типичная ошибка — взять для внешней касательной сумму радиусов 15 вместо разности 7.
Ответ: 24
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что O₁S : SO₂ = 11 : 4 (подобие прямоугольных треугольников O₁AS и O₂BS); в пункте б найдены AS = 44/3, O₁O₂ = 25 и CD = 24 (прямоугольная трапеция, разность радиусов).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б, а доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (отношение 11 : 4) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в O₁S = 55/3 или в разности квадратов 625 − 49).
- 1
- Имеется только верное доказательство пункта а (отношение 11 : 4), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, в O₁S = 55/3 или в разности квадратов 625 − 49), ИЛИ верный ответ пункта б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.