Условие
В треугольнике ABC стороны AB=13, AC=15, BC=14. Биссектриса внешнего угла при A пересекает прямую BC в D. а) Докажите, что BD:CD=13:15, и определите расположение D. б) Найдите AD.
Подсказка
Биссектрисы смежных внутреннего и внешнего углов перпендикулярны. Поэтому синусы углов BAD и CAD равны. Площади ABD и ACD относятся как AB:AC=13:15. Их высота из A к прямой BC общая, следовательно, BD:CD=13:15.
D лежит вне отрезка BC. Так как BD<CD, точка D находится за B. Поэтому CD=BD+14.
Показать ответ
а) BD:CD=13:15, D за точкой B; б) 12√65
Пошаговое решение
- Доказываем отношение площадями
Биссектрисы смежных внутреннего и внешнего углов перпендикулярны. Поэтому синусы углов BAD и CAD равны. Площади ABD и ACD относятся как AB:AC=13:15. Их высота из A к прямой BC общая, следовательно, BD:CD=13:15.
- Определяем сторону продолжения
D лежит вне отрезка BC. Так как BD<CD, точка D находится за B. Поэтому CD=BD+14.
- Находим отрезки
BD/(BD+14)=13/15. Отсюда 2BD=182, BD=91, CD=105.
- Вычисляем угол B
По теореме косинусов cos ABC=(13²+14²−15²)/(2·13·14)=5/13. Угол ABD смежный с ABC, его косинус −5/13.
- Находим биссектрису
AD²=(13)²+(91)²−2·13·91·(−5/13)=9360=(12)²·65. Поэтому AD=12√65.
Ответ: а) BD:CD=13:15, D за точкой B; б) 12√65